Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел. Второй замечательный предел Нахождение предела используя 1 замечательный предел

Собраны формулы, свойства и теоремы, применяемые при решении задач, допускающих решение с помощью первого замечательного предела. Даны подробные решения примеров с использованием первого замечательного предела его следствий.

Содержание

См. также: Доказательство первого замечательного предела и его следствий

Применяемые формулы, свойства и теоремы

Здесь мы рассмотрим примеры решений задач на вычисление пределов, в которых используется первый замечательный предел и его следствия.

Ниже перечислены формулы, свойства и теоремы, которые наиболее часто применяются в подобного рода вычислениях.

• Первый замечательный предел и его следствия:
  .
• Тригонометрические формулы для синуса, косинуса , тангенса и котангенса :
  ;
  ;
  ;
  при , ;
  ;
  ;
  ;
  ;
  ;
  .

Примеры решений

Пример 1

Для этого.
1. Вычисляем предел .
Поскольку функция непрерывна для всех x , и в том числе в точке , то
.
2. Поскольку функция не определена (и, следовательно, не является непрерывной) при , то нам нужно убедиться, что существует такая проколотая окрестность точки , на которой . В нашем случае при . Поэтому это условие выполнено.
3. Вычисляем предел . В нашем случае он равен первому замечательному пределу:
.

Таким образом,
.
Аналогичным образом, находим предел функции в знаменателе:
;
при ;
.

И наконец, применяем арифметические свойства предела функции :
.

Применим .
При . Из таблицы эквивалентных функций находим:
при ; при .
Тогда .

Пример 2

Найдите предел:
.

Решение с помощью первого замечательного предела

При , , . Это неопределенность вида 0/0 .

Преобразуем функцию за знаком предела:
.

Сделаем замену переменной . Поскольку и при , то
.
Аналогичным образом имеем:
.
Поскольку функция косинус непрерывна на всей числовой оси, то
.
Применяем арифметические свойства пределов:

.

Решение с помощью эквивалентных функций

Применим теорему о замене функций эквивалентными в пределе частного .
При . Из таблицы эквивалентных функций находим:
при ; при .
Тогда .

Пример 3

Найти предел:
.

Подставим в числитель и знаменатель дроби:
;
.
Это неопределенность вида 0/0 .

Попробуем решить этот пример с помощью первого замечательного предела. Поскольку в нем значение переменной стремится к нулю, то сделаем подстановку, чтобы новая переменная стремилась не к , а к нулю. Для этого от x перейдем к новой переменной t , сделав подстановку , . Тогда при , .

Предварительно преобразуем функцию за знаком предела, умножив числитель и знаменатель дроби на :
.
Подставим и воспользуемся приведенными выше тригонометрическими формулами.
;


;

.

Функция непрерывна при . Находим ее предел:
.

Преобразуем вторую дробь и применим первый замечательный предел:
.
В числителе дроби мы сделали подстановку .

Применяем свойство предела произведения функций:

.

.

Пример 4

Найти предел:
.

При , , . У нас неопределенность вида 0/0 .

Преобразуем функцию под знаком предела. Применим формулу:
.
Подставим :
.
Преобразуем знаменатель:
.
Тогда
.

Поскольку и при , то сделаем подстановку , и применим теорему о пределе сложной функции и первый замечательный предел:
.

Применяем арифметические свойства предела функции:
.

Пример 5

Найдите предел функции:
.

Нетрудно убедиться, что в этом примере мы имеем неопределенность вида 0/0 . Для ее раскрытия, применим результат предыдущей задачи, согласно которому
.

Введем обозначение:
(П5.1) . Тогда
(П5.2) .
Из (П5.1) имеем:
.
Подставим в исходную функцию:

,
где ,
,
;
;
;
.

Используем (П5.2) и непрерывность функции косинус. Применяем арифметические свойства предела функции.
,
здесь m - отличное от нуля число, ;
;


;
.

Пример 6

Найти предел:
.

При , числитель и знаменатель дроби стремятся к 0 . Это неопределенность вида 0/0 . Для ее раскрытия, преобразуем числитель дроби:
.

Применим формулу:
.
Подставим :
;
,
где .

Применим формулу:
.
Подставим :
;
,
где .

Числитель дроби:

.
Функция за знаком предела примет вид:
.

Найдем предел последнего множителя, учитывая его непрерывность при :



.

Применим тригонометрическую формулу:
.
Подставим ,
. Тогда
.

Разделим числитель и знаменатель на , применим первый замечательный предел и одно из его следствий:

.

Окончательно имеем:
.

Примечание 1. Также можно было применить формулу
.
Тогда .

См. также:

Первый замечательный предел. Вывод первого замечательного предела представляет интерес с точки зрения приложения теории пределов, и поэтому мы предлагаем Вам его практически целиком. Рассмотрим поведение функции при . Для этого рассмотрим окружность радиуса 1; обозначим центральный угол МОВ черезх , при этом .

Тогда явно площадь DМОА < площадь сектора МОА < площадьDСОА (см. рис. 1).

S D МОА =

S МОА =
=
S D C ОА =

Вернувшись к упомянутому неравенству и удвоив его, получим:

sin x < x < tg x .

После почленного деления наsinx :
или

Поскольку
, то переменнаязаключена между двумя величинами, имеющими один и тот же предел, т.е. , на основании теоремы о пределе промежуточной функции предыдущего пункта имеем:

-первый замечательный предел .

Пример. Вычислите пределы функций, используя первый замечательный предел:

Ответ. 1) 1, 2) 0, 3)

Задание: Вычислите предел функции, используя первый замечательный предел:

Ответ:-2.

Второй замечательный предел.

Для вывода второго замечательного предела введем определение числа е :

Определение. Предел переменной величины
при
называется числом е :

- Второй замечательный предел

Число е – иррациональное число. Его значение с десятью верными знаками после запятой обычно округляют до одного верного знака после запятой:

e = 2,7182818284…»2,7.

Теорема. Функция
при х , стремящемся к бесконечности, стремится к пределу е :

Пример. Вычислите пределы функций:

Решение.

Согласно свойствам пределов, предел степени равен степени предела, т. е.:

Кроме того, аналогичным образом можно доказать, что

Ответ. 1)е 3 , 2) е 2 , 3)е 4 .

Задание. Вычислите предел функции, используя второй замечательный предел:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: е -5

Непрерывность функции Непрерывность функции в точке

Определение. Функция f ( x ), x Î ( a ; b ) x о Î ( a ; b ), если предел функции f ( x ) в точке х о существует и равен значению функции в этой точке:

.

Согласно данному определению, непрерывность функции f (x ) в точкех о означает выполнимость следующих условий:

функция f (x ) должна быть определена в точкех о ;

у функции f (x ) должен существовать предел в точкех о ;

предел функции f (x ) в точкех о должен совпадать со значением функции в этой точке.

Пример.

Функция f (x ) = x 2 определена на всей числовой прямой и непрерывна в точкех = 1 посколькуf ( 1) = 1 и

Непрерывность функции на множестве

Определение. Функция f(x), называется непрерывной на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Если функция непрерывна в некоторой точке, то эта точка называется точкой непрерывности данной функции. В тех случаях, когда предел функции в данной точке не существует или его значение не совпадает со значением функции в данной точке, то функция называется разрывной в этой точке, а сама точка – точкой разрыва функции f(x).

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма конечного числа функций, непрерывных в точке а,

2) Произведение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке.

3) Отношение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке, если значение функции, стоящей в знаменателе, отлично от нуля в точкеа.

Пример.

Функция f (x ) = x п , гдеn Î N , непрерывна на всей числовой прямой. Доказать этот факт можно, используя свойство 2 и непрерывность функцииf (x ) = x .

Функция f (x ) = с x п (с – константа) непрерывна на всей числовой прямой, исходя из свойства 2 и примера 1.

Теорема 1. Многочлен есть функция, непрерывная на всей числовой прямой.

Теорема 2 . Любая дробно-рациональная функция непрерывна в каждой точке своей области определения .

Пример.

Определение Функция f ( x ) называется непрерывной в точке х = а , если в этой точке ее приращение
стремится к нулю, когда приращение аргумента
стремится к нулю, или иначе: функция f (х) называется непрерывной в точке х = а , если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если

Первый замечательный предел часто применяется для вычисления пределов содержащих синус, арксинус, тангенс, арктангенс и получающихся при них неопределенностей ноль делить на ноль.

Формула

Формула первого замечательного предела имеет вид: $$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\sin\alpha}{\alpha} = 1 $$

Замечаем, что при $ \alpha\to 0 $ получается $ \sin\alpha \to 0 $, тем самым в числетеле и в знаменателе имеем нули. Таким образом формула первого замечательного предела нужна для раскрытия неопределенностей $ \frac{0}{0} $.

Для применения формулы необходимо, чтобы были соблюдены два условия:

1. Выражения, содержащиеся в синусе и знаменателе дроби совпадают
2. Выражения, стоящие в синусе и знаменателе дроби стремятся к нулю

Внимание! $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x^2+1)}{2x^2+1} \neq 1 $ Хотя выражения под синусом и в знаменателе одинаковые, однако $ 2x^2+1 = 1 $, при $ x\to 0 $. Не выполнено второе условие, поэтому применять формулу НЕЛЬЗЯ!

Следствия

Достаточно редко в задания можно увидеть чистый первый замечательный предел, в котором можно сразу было бы записать ответ. На практике всё немного сложнее выглядит, но для таких случаев будет полезно знать следствия первого замечательного предела. Благодаря им можно быстро вычислить нужные пределы.

$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\alpha}{\sin\alpha} = 1 $$

$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\sin(a\alpha)}{\sin(b\alpha)} = \frac{a}{b} $$

$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{tg\alpha}{\alpha} = 1 $$

$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\arcsin\alpha}{\alpha} = 1 $$

$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{arctg\alpha}{\alpha} = 1 $$

Примеры решений

Рассмотрим первый замечательный предел, примеры решения которого на вычисление пределов содержащих тригонометрические функции и неопределенность $ \bigg[\frac{0}{0}\bigg] $

Пример 1

Вычислить $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{4x} $

Решение

Рассмотрим предел и заметим, что в нём присутствует синус. Далее подставим $ x = 0 $ в числитель и знаменатель и получим неопределенность нуль делить на нуль: $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{4x} = \frac{0}{0} $$ Уже два признака того, что нужно применять замечательный предел, но есть небольшой нюанс: сразу применить формулу мы не сможем, так как выражение под знаком синуса отличается от выражения стоящего в знаменателе. А нам нужно, чтобы они были равны. Поэтому с помощью элементарных преобразований числителя мы превратим его в $ 2x $. Для этого мы вынесем двойку из знаменателя дроби отдельным множителем. Выглядит это так: $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{4x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{2\cdot 2x} = $$ $$ = \frac{1}{2} \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{2x} = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2} $$ Обратите внимание, что в конце $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{2x} = 1 $ получилось по формуле. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{4x} =\frac{1}{2} $$

Пример 2

Найти $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^3+2x)}{2x-x^4} $

Решение

Как всегда сначала нужно узнать тип неопределенности. Если она нуль делить на нуль, то обращаем внимание на наличие синуса: $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^3+2x)}{2x-x^4} = \frac{0}{0} = $$ Данная неопределенность позволяет воспользоваться формулой первого замечательного предела, но выражение из знаменателя не равно аргументу синуса? Поэтом "в лоб" применить формулу нельзя. Необходимо умножить и разделить дробь на аргумент синуса: $$ = \lim_{x\to 0} \frac{(x^3+2x)\sin(x^3+2x)}{(2x-x^4)(x^3+2x)} = $$ Теперь по свойствам пределов расписываем: $$ = \lim_{x\to 0} \frac{(x^3+2x)}{2x-x^4}\cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^3+2x)}{(x^3+2x)} = $$ Второй предел как раз подходит под формулу и равен единице: $$ = \lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x}{2x-x^4}\cdot 1 = \lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x}{2x-x^4} = $$ Снова подставляем $ x = 0 $ в дробь и получаем неопределенность $ \frac{0}{0} $. Для её устранения достоточно вынести за скобки $ x $ и сократить на него: $$ = \lim_{x\to 0} \frac{x(x^2+2)}{x(2-x^3)} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2+2}{2-x^3} = $$ $$ = \frac{0^2 + 2}{2 - 0^3} = \frac{2}{2} = 1 $$

Ответ

$$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^3+2x)}{2x-x^4} = 1 $$

Пример 4

Вычислить $ \lim_{x\to0} \frac{\sin2x}{tg3x} $

Решение

Вычисление начнём с подстановки $ x=0 $. В результате получаем неопределенность $ \frac{0}{0} $. Предел содержит синус и тангенс, что намекает на возможное развитие ситуации с использованием формулы первого замечательного предела. Преобразуем числитель и знаменатель дроби под формулу и следствие: $$ \lim_{x\to0} \frac{\sin2x}{tg3x} = \frac{0}{0} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin2x}{2x}\cdot 2x}{\frac{tg3x}{3x}\cdot 3x} = $$ Теперь видим в числителе и знаменателе появились выражения подходящие под формулу и следствия. Аргумент синуса и аргумент тангенса совпадают для соответствующих знаменателей $$ = \lim_{x\to0} \frac{1\cdot 2x}{1\cdot 3x} = \frac{2}{3} $$

Ответ

$$ \lim_{x\to0} \frac{\sin2x}{tg2x} = \frac{2}{3} $$

В статье: "Первый замечательный предел, примеры решения" было рассказано о случаях, в которых целесообразно использовать данную формулу и её следствия.

Данная статья: «Второй замечательный предел» посвящена раскрытию в пределах неопределенностей вида:

$ \bigg[\frac{\infty}{\infty}\bigg]^\infty $ и $ ^\infty $.

Так же такие неопределенности можно раскрывать с помощью логарифмирования показательно-степенной функции, но это уже другой метод решения, о котором будет освещено в другой статье.

Формула и следствия

Формула второго замечательного предела записывается следующим образом: $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1+\frac{1}{x}\bigg)^x = e, \text{ где } e \approx 2.718 $$

Из формулы вытекают следствия , которые очень удобно применять для решения примеров с пределами: $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1 + \frac{k}{x} \bigg)^x = e^k, \text{ где } k \in \mathbb{R} $$ $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1 + \frac{1}{f(x)} \bigg)^{f(x)} = e $$ $$ \lim_{x \to 0} \bigg (1 + x \bigg)^\frac{1}{x} = e $$

Стоить заметить, что второй замечательный предел можно применять не всегда к показательно-степенной функции, а только в случаях когда основание стремится к единице. Для этого сначала в уме вычисляют предел основания, а затем уже делают выводы. Всё это будет рассмотрено в примерах решений.

Примеры решений

Рассмотрим примеры решений с использованием прямой формулы и её следствий. Так же разберем случаи, при которых формула не нужна. Достаточно записать только готовый ответ.

Пример 1

Найти предел $ \lim_{x\to\infty} \bigg(\frac{x+4}{x+3} \bigg)^{x+3} $

Решение

Подставим бесконечность в предел и посмотрим на неопределенность: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(\frac{x+4}{x+3} \bigg)^{x+3} = \bigg(\frac{\infty}{\infty}\bigg)^\infty $$ Найдем предел основания: $$ \lim_{x\to\infty} \frac{x+4}{x+3}= \lim_{x\to\infty} \frac{x(1+\frac{4}{x})}{x(1+\frac{3}{x})} = 1 $$ Получили основание равное единице, а это значит уже можно применить второй замечательный предел. Для этого подгоним основание функции под формулу путем вычитания и прибавления единицы: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{x+4}{x+3} - 1 \bigg)^{x+3} = \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = $$ Смотрим на второе следствие и записываем ответ: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = e $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = e $$

Пример 4

Решить предел $ \lim_{x\to \infty} \bigg (\frac{3x^2+4}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} $

Решение

Находим предел основания и видим, что $ \lim_{x\to\infty} \frac{3x^2+4}{3x^2-2} = 1 $, значит можно применить второй замечательный предел. Стандартно по плану прибавляем и вычитаем единицу из основания степени: $$ \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{3x^2+4}{3x^2-2}-1 \bigg) ^{3x} = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{6}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} = $$ Подгоняем дробь под формулу 2-го замеч. предела: $$ = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{1}{\frac{3x^2-2}{6}} \bigg) ^{3x} = $$ Теперь подгоняем степень. В степени должна быть дробь равная знаменателю основания $ \frac{3x^2-2}{6} $. Для этого умножим и разделим степень на неё, и продолжим решать: $$ = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{1}{\frac{3x^2-2}{6}} \bigg) ^{\frac{3x^2-2}{6} \cdot \frac{6}{3x^2-2}\cdot 3x} = \lim_{x\to \infty} e^{\frac{18x}{3x^2-2}} = $$ Предел, расположенный в степени при $ e $ равен: $ \lim_{x\to \infty} \frac{18x}{3x^2-2} = 0 $. Поэтому продолжая решение имеем:

Ответ

$$ \lim_{x\to \infty} \bigg (\frac{3x^2+4}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} = 1 $$

Разберем случаи, когда задача похожа на второй замечательный предел, но решается без него.

В статье: «Второй замечательный предел: примеры решений» была разобрана формула, её следствия и приведены частые типы задач по этой теме.

Первый замечательный предел выглядит следующим образом: lim x → 0 sin x x = 1 .

В практических примерах часто встречаются модификации первого замечательного предела: lim x → 0 sin k · x k · x = 1 , где k – некоторый коэффициент.

Поясним: lim x → 0 sin (k · x) k · x = п у с т ь t = k · x и з x → 0 с л е д у е т t → 0 = lim t → 0 sin (t) t = 1 .

Следствия первого замечательного предела:

1. lim x → 0 x sin x = lim x → 0 = 1 sin x x = 1 1 = 1

1. lim x → 0 k · x sin k · x = lim x → 0 1 sin (k · x) k · x = 1 1 = 1

Указанные следствия достаточно легко доказать, применив правило Лопиталя или замену бесконечно малых функций.

Рассмотрим некоторые задачи на нахождение предела по первому замечательному пределу; дадим подробное описание решения.

Пример 1

Необходимо определить предел, не используя правило Лопиталя: lim x → 0 sin (3 x) 2 x .

Решение

Подставим значение:

lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0

Мы видим, что возникла неопределенность нуль делить на нуль. Обратимся к таблице неопределенностей, чтобы задать метод решения. Сочетание синуса и его аргумента дает нам подсказку об использовании первого замечательного предела, однако для начала преобразуем выражение. Произведем умножение числителя и знаменателя дроби на 3 x и получим:

lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0 = lim x → 0 3 x · sin (3 x) 3 x · (2 x) = lim x → 0 sin (3 x) 3 x · 3 x 2 x = = lim x → 0 3 2 · sin (3 x) 3 x

Опираясь на следствие из первого замечательного предела, имеем: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 1 .

Тогда приходим к результату:

lim x → 0 3 2 · sin (3 x) 3 x = 3 2 · 1 = 3 2

Ответ: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 3 2 .

Пример 2

Необходимо найти предел lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 .

Решение

Подставим значения и получим:

lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 1 - cos (2 · 0) 3 · 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0

Мы видим неопределенность нуль делить на нуль. Произведем преобразование числителя с использованием формул тригонометрии:

lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2

Видим, что теперь здесь возможно применение первого замечательного предела:

lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2 = lim x → 0 2 3 · sin x x · sin x x = 2 3 · 1 · 1 = 2 3

Ответ: lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 2 3 .

Пример 3

Необходимо произвести вычисление предела lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x .

Решение

Подставим значение:

lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = a r c sin (4 · 0) 3 · 0 = 0 0

Мы видим неопределенность делить нуль на нуль. Произведем замену:

a r c sin (4 x) = t ⇒ sin (a r c sin (4 x)) = sin (t) 4 x = sin (t) ⇒ x = 1 4 sin (t) lim x → 0 (a r c sin (4 x)) = a r c sin (4 · 0) = 0 , значит t → 0 при x → 0 .

В таком случае, после замены переменной, предел принимает вид:

lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 0 0 = lim t → 0 t 3 · 1 4 sin (t) = = lim t → 0 4 3 · t sin t = 4 3 · 1 = 4 3

Ответ: lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 4 3 .

Для более полного понимания материала статьи следует повторить материал темы «Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и решения».

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter