Признак классификации

Экономико-математические модели

Общее целевое назначение Степень агрегирования объектов моделирования Конкретное назначение Тип используемой в модели информации Фактор времени Фактор неопределенности Тип математического аппарата Тип подхода к изучаемым социально-экономическим системам

Теоретико-аналитические Прикладные Макроэкономические Микроэкономические Балансовые Трендовые Оптимизационные Имитационные Аналитические Идентифицируемые Статические Динамические Детерминированные Стохастические Матричные модели Модели линейного и нелинейного программиро­вания Корреляционно-регрессионные модели Модели теории массового обслуживания Модели сетевого планирования и управления Модели теории игр Дескриптивные Нормативные

Рассмотрим выделенные классификационные признаки подробнее.

По общему целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении об­щих свойств и закономерностей экономических процессов, и приклад­ные, применяемые в решении конкретных экономических задач анали­за, прогнозирования и управления.

По степени агрегирования объектов моделирования модели делятся на макроэкономические и микроэкономические, хотя между ними и нет четкого разграничения. К первым из них относят модели, отражающие функционирование экономики как единого целого, в то время как мик­роэкономические модели связаны, как правило, с такими звеньями эко­номики, как предприятия и фирмы.

По конкретному предназначению, т. е. по цели создания и примене­ния, выделяют:

Балансовые модели, выражающие требование соответствия на­личия ресурсов и их использования;

Трендовые модели, в которых развитие моделируемой экономи­ческой системы отражается через тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей;

Оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилуч­шего варианта из определенного числа вариантов производства, распределения или потребления;

Имитационные модели, предназначенные для использования в про­цессе машинной имитации изучаемых систем или процессов, и др.

По типу информации, используемой в модели ; экономико-математи­ческие модели делятся на аналитические, построенные на априорной информации, и идентифицируемые, построенные на апостериорной информации.

По учету фактора времени модели подразделяются на статические, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени, и ди­намические, описывающие экономические системы в развитии.

По учету фактора неопределенности модели делятся на детермини­рованные, если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями, и стохастические (вероятностные), если при задании на входе модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные результаты в зависимости от дей­ствия случайного фактора.

По типу математического аппарата, используемого в модели, т.е. по характеристике математических объектов, включенных в модель, могут быть выделены матричные модели, модели линейного и нели­нейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирова­ния и управления, модели теории игр и т.д.

По типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам вы­деляют дескриптивные и нормативные модели. При дескриптивном (описательном) подходе получают модели, предназначенные для опи­сания и объяснения фактически наблюдаемых явлений или для про­гноза этих явлений. В качестве примера дескриптивных моделей мож­но привести названные ранее балансовые и трендовые модели. При нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а тем, как она должна быть устро­ена и как должна действовать согласно определенным критериям.

Проблемы моделирования. Как все средства и методы, модели науки управления в случае их применения могут привести к ошибкам. Эффек­тивность модели иногда снижается действием ряда потенциальных по­грешностей.

Недостоверные исходные допущения. Любая модель опирается на не­которые исходные допущения, или предпосылки. Это могут быть под­дающиеся оценке предпосылки, например то, что расходы на рабочую силу в следующие шесть месяцев составят 200 тыс. долл. Такие предпо­ложения можно объективно проверить и просчитать. Вероятность их точности будет высока. Некоторые предпосылки не поддаются оценке и не могут быть объективно проверены. Предположение о росте сбыта в будущем году на 10 % - пример допущения, не поддающегося провер­ке. Никто не знает наверняка, произойдет ли это действительно. По­скольку такие предпосылки - основа модели, точность последней за­висит от точности предпосылок. Модель нельзя использовать для прогнозирования, например, потребности в запасах, если неточны про­гнозы сбыта на предстоящий период.

В дополнение к допущениям по поводу компонентов модели руко­водитель формулирует предпосылки относительно взаимосвязей внут­ри нее. К примеру, модель, предназначенная помочь решить, сколько галлонов краски разных типов следует производить, должна, вероятно, включать допущение относительно зависимости между продажной це­ной и прибылью, а также стоимостью материалов и рабочей силы. Точ­ность модели зависит также от точности этих взаимосвязей.

Информационные ограничения. Основная причина недостоверности предпосылок и других затруднений - ограниченные возможности в получении нужной информации, которые влияют и на построение, и на использование моделей. Точность модели определяется точностью информации по проблеме. Если ситуация исключительно сложна, спе­циалист по науке управления может быть не в состоянии получить ин­формацию по всем релевантным факторам или встроить ее в модель. Если внешняя среда подвижна, информацию о ней следует обновлять быстро, но это может быть нереализуемо или непрактично.

Иногда при построении модели игнорируются существенные аспек­ты, поскольку они не поддаются измерению. Например, модель опре­деления эффективности новой технологии будет некорректной, если в нее встроена только информация о снижении издержек в соответствии с увеличением специализации. В общем, построение модели наиболее затруднительно в условиях неопределенности. Когда необходимая ин­формация настолько неопределенна, что ее трудно получить исходя из критерия объективности, руководителю, возможно, целесообразнее положиться на свой опыт, способность к суждению, интуицию и по­мощь консультантов.

Страх пользователей. Модель нельзя считать эффективной, если ею не пользуются. Основная причина неиспользования модели заключа­ется в том, что руководители, которым она предназначена, могут не вполне понимать получаемые с помощью модели результаты и потому боятся ее применять. Для борьбы с этим возможным страхом специали­стам по количественным методам анализа следует значительно больше времени уделять ознакомлению руководителей с возможностями и по­рядком использования моделей. Руководители должны быть подготов­лены к применению моделей, а высшему руководству следует подчер­кивать, насколько успех организации зависит от моделей и как они повышают способность руководителей эффективно планировать и кон­тролировать работу организации.

Слабое использование на практике. Согласно ряду исследований уро­вень методов моделирования в рамках науки управления превосходит уровень использования моделей. Как указывалось выше, одна из причин такого положения дел - страх. Другими причинами могут быть недоста­ток знаний и сопротивление переменам. Данная проблема подкрепляет желательность того, чтобы на стадии построения модели штабные спе­циалисты привлекали к этому пользователей. Когда люди имеют воз­можность обсудить и лучше понять вопрос, метод или предполагаемое изменение, их сопротивление обычно снижается.

Чрезмерная стоимость. Выгоды от использования модели, как и дру­гих методов управления, должны с избытком оправдывать ее стоимость. При установлении издержек на моделирование руководству следует учи­тывать затраты времени руководителей высшего и низшего уровней на построение модели и сбор информации, расходы, время на обучение, стоимость обработки и хранения информации.

Основные модели, используемые для разработки управленческих реше­ний. Существует огромное множество конкретных моделей, использу­емых для разработки управленческих решений. Их число также велико, как и число проблем, для разрешения которых они были разработаны .

В общем виде в составе экономико-математических моделей можно выделить следующие:

Модели линейного программирования;

Оптимальные экономико-математические модели (имитацион­ные модели, модели сетевого планирования и управления);

Модели анализа динамики экономических процессов;

Модели прогнозирования экономических процессов (трендовые мо­дели на основе кривых роста, адаптивные модели прогнозирования);

Балансовые модели;

Эконометрические модели;

Прочие прикладные модели экономических процессов (модель спроса и предложения, модели управления запасами, модели те­ории массового обслуживания, модели теории игр).

Рассмотрим подробнее некоторые из перечисленных моделей, наи­более часто использующиеся в практике управления.

Модели теории игр. Одна из важнейших переменных, от которой за­висит успех организации, - конкурентоспособность. Очевидно, спо­собность прогнозировать действия конкурентов означает преимуще­ство для любой организации. Теория игр - это метод моделирования воздействия принятого решения на конкурентов.

Теорию игр изначально разработали военные с тем, чтобы в страте­гии можно было учесть возможные действия противника. В бизнесе игровые модели используются для прогнозирования реакции конку­рентов на изменение цен, новые кампании поддержки сбыта, предло­жения дополнительного обслуживания, модификацию и освоение но­вой продукции. Если, например, с помощью теории игр руководство устанавливает, что при повышении цен конкуренты не сделают того же, оно, вероятно, должно отказаться от этого шага, чтобы не попасть в невыгодное положение в конкурентной борьбе.

Теория игр используется не так часто, как другие описываемые здесь модели, так как ситуации реального мира зачастую очень сложны и на­столько быстро изменяются, что невозможно точно спрогнозировать, как отреагируют конкуренты на изменение тактики фирмы. Тем не ме­нее теория игр полезна, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Эта информация важна, поскольку позволяет руководству учесть дополнительные переменные или факторы, могу­щие повлиять на ситуацию, и тем самым повышает эффективность ре­шения . Подробнее элементы теории игр рассмотрены в главе, посвященной разработке управленческих решений в условиях неопреде­ленности и риска.

Модели теории массового обслуживания используются для определе­ния оптимального числа каналов обслуживания по отношению к по­требности в них. К ситуациям, в которых модели теории массового об­служивания могут быть полезны, можно отнести ожидание клиентами банка свободного кассира, очередь грузовиков под разгрузку на склад. Если, например, клиентам приходится слишком долго ждать кассира, они могут решить перенести свои счета в другой банк. Подобным обра­зом, если грузовикам приходится слишком долго дожидаться разгруз­ки, они не смогут выполнить положенное количество ездок за день.

Таким образом, принципиальная проблема заключается в уравнове­шивании расходов на дополнительные каналы обслуживания: требует­ся больше людей для разгрузки грузовиков, больше кассиров и потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального (грузовики не могут сде­лать лишнюю поездку из-за задержек под разгрузкой, потребители уходят в другой банк из-за медленного обслуживания).

Так, модели очередей снабжают руководство инструментом опреде­ления оптимального числа каналов обслуживания, которые необходи­мо иметь, чтобы в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества сбалансировать издержки .

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового об­служивания, в которых входящий поток требований простейший (пуас-соновский).

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления P k (t) за время t равно k требований задается формулой

Важная характеристика систем массового обслуживания - время об­служивания требований в системе. Время обслуживания одного требо­вания - это, как правило, случайная величина и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории, особенно в практических приложениях, получил экспоненци­альный закон распределения времени обслуживания. Функция распре­деления для этого закона имеет вид:

т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит неко­торой величины t , определяется этой формулой, где (µ - параметр экс­поненциального закона распределения времени, необходимого для об­служивания требований в системе, т.е. величина, обратная среднему времени обслуживания t об :

Рассмотрим аналитические модели наиболее распространенных си­стем массового обслуживания с ожиданием, т.е. таких систем, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения ка­налов.

Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет п обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно об­служивать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром λ.

Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше п требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслужи­вания.

Время обслуживания каждого требования t об - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с па­раметром µ.

Системы массового обслуживания с ожиданием можно разбить на две большие группы: замкнутые и разомкнутые. К замкнутым относят­ся системы, в которых поступающий поток требований возникает в са­мой системе и ограничен. Например, мастер, задача которого - налад­ка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится потенциальным источником требова­ний на накладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно. Если питающий источ­ник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток тре­бований можно считать неограниченным.

Отмеченные особенности функционирования систем этих двух ви­дов накладывают определенные условия на используемый математи­ческий аппарат. Расчет характеристик работы систем массового обслу­живания различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний систем (так называемые формулы Эрланга).

Рассмотрим алгоритмы, предназначенные для расчета качества функ­ционирования разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием.

При изучении таких систем рассчитывают различные показатели эффективности обслуживающей системы. В качестве основных показа­телей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заня­ты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очере­ди), коэффициенты занятости и простоя каналов обслуживания и др.

Введем в рассмотрение параметр α = λ / µ. Заметим, что если α / п < 1, то очередь не может расти безгранично. Это условие имеет следующий смысл: λ,-среднее число требований, поступающих за единицу време­ни; 1/ µ - среднее время обслуживания одним каналом одного требова­ния, тогда α = λ х 1 / µ - среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требо­вания. Поэтому условие α / п < 1 означает, что число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требова­ния. Важнейшие характеристики работы систем массового обслужива­ния:

1) вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:

2) вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов:

3) вероятность того, что в системе находится k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов:

4) вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:

5) среднее время ожидания требования в системе:

6) средняя длина очереди:

7) среднее число свободных от обслуживания каналов:

8) коэффициент простоя каналов:

9) среднее число занятых обслуживанием каналов:

10) коэффициент загрузки каналов:

При рассмотрении замкнутых систем массового обслуживания к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих тре­бований ограничен, т.е. в системе одновременно не может находиться больше т требований (т - число обслуживаемых объектов) .

Модели управления запасами используются для того, чтобы опреде­лить время размещения заказов на ресурсы и их количество, а также массу готовой продукции на складах. Любая организация должна под­держивать некоторый уровень запасов во избежание задержек на произ­водстве и в сбыте. Для больницы требуется поставка необходимого ко­личества лекарств, для производственной фирмы - сырья и деталей, а также определенный задел незавершенного производства и запас гото­вой продукции.

Цель данной модели - сведение к минимуму отрицательных по­следствий накопления запасов, которые выражаются в определенных издержках. Эти издержки бывают трех основных видов:

На размещение заказов;

На хранение;

Потери, связанные с недостаточным уровнем запасов.

Последние имеют место при исчерпании запасов. В этом случае про­дажа готовой продукции или предоставление обслуживания невозмож­но, кроме того, возникают потери от простоя производственных ли­ний, в частности в связи с необходимостью оплаты труда работников, хотя они не работают в данный момент.

Поддержание высокого уровня запасов избавляет от потерь. Закупка в больших количествах материалов, необходимых для создания запа­сов, во многих случаях сводит к минимуму издержки на размещение заказов, поскольку фирма может получить соответствующие скидки и снизить объем «бумажной работы». Однако эти потенциальные выгоды перекрываются дополнительными издержками - расходами на хране­ние, перегрузку, выплату процентов, затратами на страхование, потеря­ми от порчи, воровства и дополнительными налогами.

Кроме того, руководство должно учитывать возможность связыва­ния оборотных средств избыточными запасами, что препятствует вло­жению капитала в приносящие прибыль акции, облигации или банков­ские депозиты. Разработано несколько специфических моделей, помогающих руководству установить, когда и сколько материалов зака­зывать в запас, какой уровень незавершенного производства и запаса готовой продукции поддерживать .

В практической деятельности организации часто используются сле­дующие системы регулирования товарных запасов .

Система с фиксированным размером заказа - наиболее распростра­ненная система, в которой размер заказа на пополнение запасов - по­стоянная величина, а поставка очередной партии товара осуществляет­ся при уменьшении наличных запасов до определенного критического уровня, называемого точкой заказа. Регулирующие параметры системы с фиксированным размером заказа - это:

Точка заказа, т.е. фиксированный уровень запаса, при снижении до которого организуется заготовка очередной партии товара;

Размер заказа, т.е. величина партии поставки.

Данную систему часто называют «двухбункерной», так как запас хра­нится как бы в двух бункерах: в первом - для удовлетворения спроса в течение периода между фактическим пополнением запаса и датой сле­дующего ближайшего заказа, а во втором -для удовлетворения спроса в течение периода от момента подачи заказа до поступления очередной партии товара, т.е. во втором бункере хранится запас на уровне точки заказа.

Система с фиксированной периодичностью заказа - заказы на оче­редную поставку товарного запаса повторяются через равные проме­жутки времени. В конце каждого периода проверяется уровень запасов и определяется размер заказываемой партии. При этом запас пополня­ется каждый раз до определенного уровня, не превышающего макси­мальный запас. Таким образом, регулирующие параметры этой систе­мы - это:

Максимальный уровень запасов, до которого осуществляется их пополнение;

Продолжительность периода повторения заказов.

Система с фиксированной периодичностью заказа эффективна, когда имеется возможность пополнять запас в различных размерах, причем затраты на оформление заказа любого размера невелики. Одним из до­стоинств этой системы можно считать возможность периодической проверки остатков на складе и отсутствие необходимости вести систе­матический учет движения остатков. К недостаткам системы относится то, что она не исключает возможность нехватки товарных запасов.

Система с двумя фиксированными уровнями запасов и фиксированной периодичностью заказа - допустимый уровень запасов регламентирует­ся как сверху, так и снизу. Кроме максимального верхнего уровня запаса устанавливается нижний уровень (точка заказа).

Если размер запаса снижается до нижнего уровня раньше наступле­ния фиксированного времени пополнения запаса, то делается внеоче­редной заказ. В остальных случаях система функционирует как система с фиксированной периодичностью заказа. В данной системе имеется три регулирующих параметра:

Максимальный уровень запаса;

Нижний уровень запаса (точка заказа);

Длительность периода между заказами.

Первые два параметра постоянны, третий - частично переменный. Рассматриваемая система сложнее предыдущей, однако она позволяет исключить возможность нехватки товарного запаса. Недостаток систе­мы в том, что пополнение запасов до максимального уровня не может производиться независимо от фактического расходования запасов.

Система с двумя фиксированными уровнями запасов без постоянной пе­риодичности заказа, или (s, S)-стратегия управления запасами, - эту си­стему называют также (S-s)-стратегией, или системой «максимум-ми­нимум». Рассмотрим (s, S)-стратегию управления запасами более подробно. Это модификация предыдущей системы, но она устраняет недостаток предыдущей системы. В этой системе два регулирующих параметра:

Нижний (критический) уровень запаса s;

Верхний уровень запаса S.

Если через х обозначить величину запасов до принятия решения об их пополнении, через p - величину пополнения, а через у = х + р - величину запасов после пополнения, то (s, S)-стратегия управления за­пасами задается функцией

т.е. пополнения не происходит, если имеющийся уровень запасов боль­ше критического уровня s; если имеющийся уровень меньше или равен s, то принимается решение о пополнении запаса обязательно до верх­него уровня S, так что величина пополнения равна p = S - x.

Саморегулирующиеся системы управления запасами. Рассмотренные выше системы регулирования запасов предполагают относительную неизменность условий их функционирования. На практике такое по­стоянство условий встречается редко, что вызвано изменениями по­требности в товарных запасах, условиями их поставки и т.д. В связи с этим возникает необходимость создания комбинированных систем с возможностью саморегулирования (адаптации к изменившимся усло­виям). Создаются системы с изменяющимися периодичностью и размером заказов, учитывающие стохастические (недетерминирован­ные) условия. В каждой такой системе в рамках соответствующей эконо­мико-математической модели управления запасами устанавливается определенная целевая функция, служащая критерием оптимальности функционирования системы. В качестве целевой функции в моделях управления запасами чаще всего используется минимум затрат, свя­занных с заготовкой и хранением запасов, а также потери от дефицита. К элементам целевой функции при построении саморегулирующихся систем управления запасами относятся:

Затраты, связанные с организацией заказа и его реализацией, на­чиная с поиска поставщика и кончая оплатой всех услуг по дос­тавке товарных запасов на склад. Часть расходов, связанных с орга­низацией заказов, не зависит от размера заказа, но зависит от количества этих заказов в год. Расходы, связанные с реализацией заказа, зависят от размера заказанной партии, причем расходы в расчете на единицу товара уменьшаются при увеличении разме­ра партии;

Затраты, связанные с хранением запаса. Часть издержек хране­ния носит суточный характер (плата за аренду помещений, за отопление и др.), другая часть прямо зависит от уровня запасов (расходы на складскую переработку товарных запасов, потери от порчи, издержки учета и др.). При расчетах на основе экономи­ко-математических моделей управления запасами обычно пользу­ются удельной величиной издержек хранения, равной размеру издержек на единицу хранимого товара в единицу времени. При этом предполагают, что издержки хранения за календарный пе­риод прямо пропорциональны размеру запасов и длительности периода между заказами и обратно пропорциональны количе­ству заказов за этот период.

3) потери из-за дефицита, когда снабженческо-сбытовая организа­ция несет материальную ответственность за неудовлетворение потреб­ности потребителей по причине отсутствия запасов . Например, при неудовлетворенном спросе снабженческо-сбытовая организация может нести убытки в виде штрафа за срыв поставки. Вероятность де­фицита - это ожидаемая относительная частота случаев нехватки то­варной продукции в течение более или менее продолжительного ин­тервала времени. Иногда вероятность дефицита определяется как частное отделения числа дней, когда товар на складе отсутствует, на общее число рабочих дней, например, в году.

Имитационное моделирование. Все описанные выше модели подра­зумевают применение имитации в широком смысле, поскольку все они - заменители реальности. Тем не менее как метод моделирования имитация конкретно обозначает процесс создания модели и ее экспе­риментальное применение для определения изменений реальной си­туации. Аэродинамическая труба - пример физически осязаемой ими-тационной модели, используемой для проверки характеристик разрабатываемых самолетов и автомобилей. Специалисты по производ­ству и финансам могут разработать модели, позволяющие имитировать ожидаемый прирост производительности и прибылей в результате при­менения новой технологии или изменения состава рабочей силы. Спе­циалист по маркетингу может создать модели для имитации ожидаемо­го объема сбыта в связи с изменением цен или рекламы продукции.

Имитация используется в ситуациях, слишком сложных для мате­матических методов типа линейного программирования. Это может быть связано с чрезмерно большим числом переменных, трудностью мате­матического анализа определенных зависимостей между переменными или высоким уровнем неопределенности.

Итак, имитация - это часто весьма практичный способ подстанов­ки модели на место реальной системы или натурного прототипа. Экс­периментируя на модели системы, можно установить, как она будет реагировать на определенные изменения или события, в случае если отсутствует возможность наблюдать эту систему в реальности. Если ре­зультаты экспериментирования с использованием имитационной мо­дели свидетельствуют о том, что модификация ведет к улучшению, ру­ководитель может с большей уверенностью принимать решение об осуществлении изменений в реальной системе.

Экономический анализ. Почти все руководители воспринимают ими-тацию как метод моделирования. Однако многие из них никогда не думали, что экономический анализ - очевидно, наиболее распростра­ненный метод - это тоже одна из форм построения модели. Экономи­ческий анализ вбирает в себя почти все методы оценки издержек и эко­номических выгод, а также относительной рентабельности деятельности предприятия. Типичная экономическая модель основана на анализе безубыточности, методе принятия решений с определением точки, в которой общий доход уравнивается с суммарными издержками, т.е. точ­ки, в которой предприятие становится прибыльным.

Тонка безубыточности (break-even point - ВЕР) - ситуация, при ко­торой общий доход (total revenue - TR ) становится равным суммарным издержкам (total costs - ТС). Для определения ВЕР необходимо учесть три основных фактора:

Продажную цену единицы продукции (unit price - Р) - доход фирмы от продажи каждой единицы товаров или услуг. Изда­тельская компания, к примеру, получает 80 % от розничной це­ны книги. Таким образом, при продаже одной книги за 10 долл. Р составит 8 долл.;

Переменные издержки на единицу продукции (variable costs - VС) - фактические расходы, прямо относимые на изготовление каждой единицы продукции. Применительно к изготовлению книги это будут расходы на бумагу, обложку, услуги типографии, изготовление переплета и сбыт, а также выплата авторского гоно­рара. Естественно, совокупные переменные издержки растут с ростом объема производства;

Общие постоянные издержки на единицу продукции (total fixed costs - ТFС) - те издержки, которые, по меньшей мере, в ближай­шей перспективе, остаются неизменными независимо от объема производства. Основные составляющие совокупных постоянных издержек издательской компании - расходы на редактирование, оформление и набор. Кроме того, часть управленческих расхо­дов, расходы на страхование и налоги, аренду помещения и амор­тизационные отчисления переводятся в постоянные издержки в соответствии с формулой, установленной руководством. В нашем примере предположим, что постоянные издержки, связанные с производством книги, равны 200 тыс. долл.

Продажная цена за вычетом переменных издержек обозначает вклад в прибыль на единицу проданной продукции. При продажной цене книги 10 долл. и переменных издержках 6 долл. вклад составит 4 долл. Этот расчет позволяет руководству установить, сколько книг нужно про­дать, чтобы покрыть постоянные издержки в сумме 200 тыс. долл. Раз­делив 200 тыс. на 4, мы получим 50 тыс., т.е. именно столько книг необ­ходимо продать, чтобы проект был рентабельным. В форме уравнения безубыточность выражается следующим образом:

Используя формулу, мы получим на базе тех же данных те же резуль­таты, как и при простом подсчете:

P = 10 долл.;

VC = 6 долл.;

TFC = 200 000 долл.;

BEP = ТFС/(Р- VC) = 200 000/4 = 50 000 книг.

Вычисление точки безубыточности, будучи сравнительно простой операцией, дает значительный объем полезной информации. Соотно­ся величину ВЕР иоценку объема продажи, получаемую методами ана­лиза рынка, руководитель в состоянии сразу увидеть, будет ли проект прибыльным, как запланировано, и каков примерный уровень риска. Если анализ издательского рынка показал, что потенциал сбыта состав­ляет 80 000 экземпляров, это значит, что издание будет прибыльным и сопряжено с относительно малым риском. Намерение продать всего, к примеру, 35 000 книг было бы весьма рискованным.

Легко можно также установить, как влияет на прибыль изменение одной или большего числа переменных. Например, издатель увели­чивает Р с 1 до 11 долл., ВЕР должна снизиться до 40 000 книг, что должно произойти и при соответствующем изменении величины VC. Таким образом, анализ безубыточности помогает выявить альтерна­тивные подходы, которые были бы более привлекательными для фир­мы. Например, рынок сбыта научных книг гораздо уже, чем, скажем, рынок учебников по вводным курсам, поэтому издатели вынуждены выплачивать менее высокие гонорары авторам научных книг и отказы­ваться от второго цвета при печати. Такой подход позволяет вдвое сни­зить общие издержки по сравнению с учебниками по вводным курсам. Отметим, однако, что в результате внешний вид книги ухудшается, а это может заставить потенциальных потребителей обратиться к продукции конкурента, в результате чего сбыт упадет ниже точки безубы­точности.

Получив результаты по сбыту и данные по фактическим издержкам, руководство может вернуться к модели безубыточности для контрольной оценки. Если фактические значения постоянных и переменных издер­жек превышают те, что использованы для расчета точки безубыточно­сти, это свидетельствует о необходимости корректирующих действий. Зачастую эти действия должны сводиться к новому анализу основы рас­чета. Как любые другие прогнозы и планы, те, что использованы в ана­лизе безубыточности, могут быть ошибочными, и зачастую по причи­нам, не находящимся под контролем руководителя. К примеру, в начале 1970-х гг. многие издатели столкнулись с уменьшением прибыли в силу внезапного скачка цен на бумагу, который невозможно было полностью переложить на потребителей.

Объем производства, обеспечивающий безубыточность, можно рас­считать почти по каждому виду продукции или услуге, если соответ­ствующие издержки удается определить.

Другие модели экономического анализа применяются для определе­ния прибыли относительно инвестированного капитала, определения величины чистой прибыли, которую имеет в данный период фирма, и дивидендов на одну акцию внутри фирмы. Эти модели рассматриваются в курсах по финансам и бухгалтерскому учету .

Оптимальное линейное программирование. Необходимое условие оптимального подхода к планированию и управлению (принципа оп­тимальности) - гибкость, альтернативность производственно-хозяй­ственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать плано­во-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило, и составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, марш­рутизация, раскрой материалов, приготовление смесей и т.д.).

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое планово-управленческое решение = (x 1 ,x 2 ,…,x n), где x j , (j = ) - его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хо­зяйствующего субъекта.

Слова «наилучшим образом» здесь означают выбор некоторого кри­терия оптимальности, т.е. некоторого экономического показателя, по­зволяющего сравнивать эффективность тех или иных планово-управлен­ческих решений. Традиционные критерии оптимальности - «максимум прибыли», «минимум затрат», «максимум рентабельности» и др.

Слова «учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности» означают, что на выбор планово-уп­равленческого решения (поведения) накладывается ряд условий, т.е. выбор осуществляется из некоторой области возможных (допусти­мых) решений D ; эту область называют также областью определения задачи.

Таким образом, реализовать на практике принцип оптимальности - значит решить экстремальную задачу вида:

где- математическая запись критерия оптимальности - целе­вая функция. Задачу условной оптимизации обычно записывают таким образом: _

Найти максимум или минимум функции f = f (x 1 ,x 2 ,..., х п) при ограничениях:

Последнее условие необязательно, но его при необходимости всегда можно добиться. Обозначение {≤, =, ≥} говорит о том, что в конкрет­ном ограничении возможен один из знаков: ≤, =, ≥. Используется бо­лее компактная запись:

Такова общая задача оптимального (математического) программи­рования, т.е. математическая модель задачи оптимального программи­рования, в основе построения (разработки) которой лежат принципы оптимальности и системности.

Вектор (набор управляющих переменных x j , j = называет­ся допустимым решением, или планом задачи оптимального йрограм-мирования, если он удовлетворяет системе ограничений. А тот план (допустимое решение), который составляет максимум или минимум целевой функции f (x 1 ,x 2 ,..., х п) называется оптимальным планом (оп­тимальным поведением, или просто решением) задачи оптимального программирования .

Таким образом, выбор оптимального управленческого поведения в конкретной производственной ситуации связан с проведением с пози­ций системности и оптимальности экономико-математического моде­лирования и решением задачи оптимального программирования.

IDEF-технологии моделирования . Своим появлением семейство стан­дартов IDEF (Integrated Defenition - интегрированное определение) во многом обязано появившейся в 1980-х гг. технологии автоматизации разработки информационных систем CASE (Computer Aided Software Engineering). До настоящего времени эта технология с успехом приме­няется при разработке разнообразного программного обеспечения. Однако в последнее время CASE-технологии приобретают все большее распространение для моделирования и анализа деятельности предпри­ятий, предоставляя богатый набор возможностей для оптимизации, или, в терминах CASE, реинжиниринга, технологических процедур, выполняемых этими предприятиями, - бизнес-процессов.

IDEF0, ранее известный как технология структурированного анали­за и разработки SADT (Structured Analysis Design Technique - техно­логия структурного анализа и моделирования), был разработан компа­нией «SofTech, Inc.» в конце 1960-х гг. и представлял собой набор рекомендаций по построению сложных систем, которые предполагали взаимодействие механизмов и обслуживающего персонала. Подход SADT относится к классу формальных методов, используемых при ана­лизе и разработке систем .

В настоящее время используются методики функционального, ин­формационного и поведенческого моделирования и проектирования, в которые входят IDEF-модели, приведенные в табл. 3.4.

Удобные средства визуального представления информации, описан­ные в стандартах семейства IDEF, могут применяться как для описания деятельности произвольной компании, так и для принятия обоснован­ных решений в сфере реинжиниринга бизнес-процессов - оптимиза­ции функционирования компании на рынке.

Основные понятия математического моделирования; виды математических моделей.

Цель лекции:

Изучить основные понятия математического моделирования и виды математических моделей.

2.1 Основные термины в математическом моделировании

Каждая математическая модель представляет собой упорядоченную комбинацию таких составляющих как компоненты, переменные, параметры, функциональные зависимости.

Под компонентами модели понимают составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему. Компоненты могут быть либо неделимые структурные образования ("элементы" модели), либо составные части, являющиеся "подсистемами".

Обычно входы и выходы системы называют переменными , остальные величины – параметрами. Эти допущения приняты условно. Без каких-либо дополнительных соглашений ответить невозможно, где переменные, а где параметры. В качестве такого соглашения может быть принят, например, класс функций. Деление переменных на входные и выходные тоже не является абсолютным. Это справедливо по отношению к определенной системе. Надо исходить из конкретной характеристики всей изучаемой системы. Входы системы (экзогенные переменные) порождаются вне изучаемой системы и являются результатом действия внешних причин. Выходы (эндогенные переменные) возникают в системе в результате действия на нее экзогенных переменных.

Главные составляющие модели – функциональные зависимости, которые описывают поведение переменных и параметров системы или компонента. Обычно они устанавливают внутренние отношения между экзогенными (х) и эндогенными (у) переменными либо между переменными и зависимыми от них параметрами (р):

а) y = φ(p,x),

б) р = ψ(x,y).

Функции φ часто называют операторными (или просто операторами), а функции ψ – параметрическими. Закон функционирования системы, может быть задан аналитически, графически, таблично и т.д.

Последняя составляющая моделей – ограничения . В простейшем случае к ограничениям относят область изменения вектора аргументов модели xD x . Параметры модели тоже могут задаваться на некотором разрешенном множестве pD p .

Чаще всего считается, что моделируемая система не оказывает действия на окружающую среду. Вопрос о допустимости пренебрежения внешней средой должен быть обоснован.

2.2. Основные виды математических моделей

Создание некоторой универсальной модели, отвечающей различным аспектам ее применения, практически невозможно. Для получения информации, отражающей те или иные свойства управляемого объекта, необходима классификация моделей. В основе классификации лежат особенности оператора φ . Все многообразие объектов управления, исходя из временного и пространственного признаков, можно разделить на следующие классы: статические или динамические; линейные или нелинейные; непрерывные или дискретные во времени; стационарные или нестационарные; процессы, в ходе которых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без пространственного изменения параметров. Так как математические моделии являются отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы. Полное наименование модели может включать в себя совокупность перечисленных признаков. Эти признаки послужили основой названия соответствующих типов моделей.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе все модели могут быть разделены на следующие виды:

Детерминированные модели – отображают детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий.

Стохастические модели – отображают вероятностные процессы и события; в этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса, и оцениваются средние характеристики.

Стационарные и нестационарные модели. Модель называется стационарной, если вид оператора φ и его параметры p не изменяются во времени, то есть, когда справедливо

φ= φ, т.е. y= φ(p,x).

Если же параметры модели изменяются во времени, то модель является

параметрически нестационарной

y= φ.

Самый общий вид нестационарности – когда от времени зависит и вид функции. Тогда в запись функции добавляется еще один аргумент

y= φ(p,t,x).

Статические и динамические модели. В основе такого разделения типов моделей лежат особенности движения исследуемого объекта как материальной системы.

Говоря о моделях с позиций задач управления, надо отметить, что под пространством здесь понимается не геометрическое пространство, а пространство состояний – координат состояний выходных переменных у . Элементами вектора y являются обычно контролируемые технологические параметры (расход, давление, температура, влажность, вязкость и т.д.). Состав элементов вектораy для самого объекта может быть шире, чем для модели этого объекта, так как при моделировании требуется изучение только части свойств реальной системы. Движение объекта управления в пространстве состояний и во времени оценивается с помощью векторного процесса y(t).

Модель системы называется статической , если состояние системы не изменяется, то есть система находится в равновесии, но движение связано со статичным состоянием объекта, находящегося в равновесии. Математическое описание в статических моделях не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравнений либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределенными параметрами. Статические модели обычно являются нелинейными. Они точно отражают состояние равновесия, вызванное переходом объекта от одного режима к другому.

Динамическая модель отражает изменение состояния объекта во времени. Математическое описание таких моделей обязательно включает производную во времени. Динамические модели используют дифференциальные уравнения. Точные решения этих уравненийизвестны только для некоторого класса дифференциальных уравнений. Чаще приходится прибегать к использованию численных методов, являющихся приближенными.

Для целей управления динамическую модель представляют в виде передаточной функции, связывающей входные и выходные переменные.

Линейные и нелинейные модели. Математически функция L (x ) – линейна, если

L(λ 1 x 1 +λ 2 x 2)=λ 1 L(x 1)+λ 2 L(x 2).

Аналогично и для функций многих переменных. Линейной функции присуще использование только операций алгебраического сложения и умножения переменной на постоянный коэффициент. Если в выражении для оператора моделиесть нелинейные операции, то модель является нелинейной , в противном случае модель – линейна .

Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами. Следует отметить, что с учетом введенной терминологии было бы корректнее в названии модели вместо слова «параметры» употреблять понятие «координата состояния». Однако это сложившееся название, которое часто встречается во всех работах по моделированию технологических процессов.

Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве (или только в пространстве), то модели, описывающие такие процессы, называются моделями с распределенными параметрами. В этом случае вводится геометрическое пространство z =(z 1 , z 2 , z 3 ) и уравнения имеют вид:

y(z)=φ, p(z)=ψ.

Их математическое описание включает обычно дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравнения в случае стационарных процессов с одной пространственной координатой.

Если можно пренебречь пространственной неравномерность значений координат состояний объекта, т.е. градиент , то соответствующая модель – модель с сосредоточенными параметрами. Для них масса и энергия как бы сосредоточены в одной точке.

Трехмерность пространства не всегда обязательна. Например, модель змеевика с нагреваемым рабочим телом и с тонкостенной оболочкой обычно исходит из одномерности объекта – учитывается только длина змеевика. В то же время процесс передачи тепла в ограниченный объем рабочего тела через толстую стенку может быть описан одномерной моделью, учитывающей только толщину оболочки и т.п. Для конкретных объектов форма соответствующих уравнений требует обоснований.

Модели непрерывные и дискретные во времени. Непрерывные модели отражают непрерывные процессы в системах. Модели, описывающие состояние объектов относительно времени как непрерывного аргумента – непрерывные (по времени):

y(t)=φ, p(t)=ψ.

Дискретные модели служат для описания процессов, которые предполагаются дискретными. Дискретная модель не может дать прогноз поведения объекта на интервале между дискретными отсчетами времени. Если введем квантование по времени с шагом ∆t, то рассматривается дискретная шкала , где i=0,1,2…- приобретает смысл относительного времени. И дискретная модель:

y(i)=φ; p(i)=ψ.

При правильном выборе шага ∆t можно ожидать от дискретной модели результата с наперед заданной точностью. При изменении ∆t должны быть пересчитаны и коэффициенты разностного уравнения.

Дискретно-непрерывные модели используются для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

Требования, предъявляемые к математическим моделям: точность – свойство, отражающее степень совпадения предсказанных с помощью модели значений параметров объекта с их истинными значениями; экономичность затрат машинного времени; универсальность – применимость к анализу группы однотипных объектов.

вектор выходных переменных, Y= t ,

Z - вектор внешних воздействий, Z= t ,

t - координата времени.

Построение математической модели заключается в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат.

Обычно их оказывается настолько много, что ввести в модель всю их совокупность не удается. При построении математической модели перед исследованием возникает задача выявить и исключить из рассмотрения факторы, несущественно влияющие на конечный результат (математическая модель обычно включает значительно меньшее число факторов, чем в реальной действительности). На основе данных эксперимента выдвигаются гипотезы о связи между величинами, выражающими конечный результат, и факторами, введенными в математическую модель . Такая связь зачастую выражается системами дифференциальных уравнений в частных производных (например, в задачах механики твердого тела, жидкости и газа, теории фильтрации, теплопроводности, теории электростатического и электродинамического полей).

Конечной целью этого этапа является формулирование математической задачи, решение которой с необходимой точностью выражает результаты, интересующие специалиста.

Форма и принципы представления математической модели зависит от многих факторов.

По принципам построения математические модели разделяют на:

1. аналитические;
2. имитационные.

В аналитических моделях процессы функционирования реальных объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей .

Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической проблемы:

1. уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные),
2. аппроксимационные задачи ( интерполяция , экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование ),
3. задачи оптимизации,
4. стохастические проблемы.

Однако по мере усложнения объекта моделирования построение аналитической модели превращается в трудноразрешимую проблему. Тогда исследователь вынужден использовать имитационное моделирование .

В имитационном моделировании функционирование объектов, процессов или систем описывается набором алгоритмов. Алгоритмы имитируют реальные элементарные явления, составляющие процесс или систему с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Имитационное моделирование позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса или системы в определенные моменты времени, однако прогнозирование поведения объектов, процессов или систем здесь затруднительно. Можно сказать, что имитационные модели - это проводимые на ЭВМ вычислительные эксперименты с математическими моделями , имитирующими поведение реальных объектов, процессов или систем.

В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:

1. детерминированные,
2. стохастические.

В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные, поведение системы можно точно определить. При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра .

Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики.

По виду входной информации модели разделяются на:

1. непрерывные,
2. дискретные.

Если информация и параметры являются непрерывными, а математические связи устойчивы, то модель - непрерывная. И наоборот, если информация и параметры - дискретны, а связи неустойчивы, то и математическая модель - дискретная.

По поведению моделей во времени они разделяются на:

1. статические,
2. динамические.

Статические модели описывают поведение объекта, процесса или системы в какой-либо момент времени. Динамические модели отражают поведение объекта, процесса или системы во времени.

По степени соответствия между

Сформулируем основные требования, предъявляемые к модели М процесса функционирования системы (объекта):

1) полнота модели должна предоставлять пользователю возможность получения необходимого набора оценок характеристик системы с требуемой точностью и достоверностью.

2) гибкость модели должна давать возможность воспроизведения различных ситуаций при варьировании структуры, параметров системы.

3) длительность разработки модели должна быть по возможности минимальной.

4) структура модели должна быть блочной, т.е. допускать возможность замены, добавления и исключения некоторых частей без переделки всей модели.

5) программные и технические средства должны обеспечивать эффективную по быстродействию и памяти программную реализацию модели.

1.3. Классификация математических моделей

В качестве основания для классификации математических моделей очень удобно выбрать такой явный признак, как тип моделируемого объекта. По типу исследуемого объекта различают математические модели технических устройств, технологических процессов, производств, предприятий.

Каждую из выделенных групп моделей в свою очередь можно разбить на ряд групп и подгрупп в зависимости от принятых для них классификационных признаков. В качестве последних наиболее часто используют факторы времени (непрерывные и дискретные модели), описываемый в модели режим работы объекта (динамический и статический), вид функциональной связи (линейная или нелинейная).

Например, на этой основе можно классифицировать математические модели технических объектов и устройств, выделив восемь групп моделей

В зависимости от характера отображаемых свойств математические модели делятся на функциональные и структурные. Функциональные модели отображают процессы, протекающие в объекте. Чаще всего эти модели задаются в виде систем уравнений.

Структурные модели применяются в задачах проектирования, связанных с описанием облика изделия, в задачах конструкторского проектирования. Это модели, отображающие геометрические свойства объекта (элементы, из которых состоит объект и характер связей между элементами). Эти математические модели имеют форму матриц, графов и т.п.

По способу построения математических моделей выделяются класс формальных (экспериментально-статистических) математических моделей и класс неформальных (аналитических) моделей.

Формальные математические модели создаются по результатам экспериментальных наблюдений за некоторым объектом-аналогом. Уравнения связи Y=F(X, Z) носят условный характер и не отражают внутренней структуры, конструктивных и технологических особенностей объекта.

Математические модели технических объектов и устройств

Непрерывные
		Дискретные
во времени		во времени
		Y=f(k, t), k=1,2,
Стохастические		Детерминированные

Рис.1.4. Классификация математических моделей

Неформальные модели создаются на основе универсальных уравнений сохранения (массы, энергии, импульса). Уравнения связи Y=F(X, Z) отражают общие законы сохранения, элементарные физико-химические процессы, протекающие в объекте.

По виду функциональной связи между входными и выходными параметрами (F(X, Z)) принято выделять линейные и нелинейные математические модели.

Задачи исследования объекта могут ограничиваться определенным режимом его функционирования. В соответствии с этим признаком выделяются модели статики и динамики.

Математическая модель динамики описывает переходный режим работы объекта и отображает изменение во времени выходных координат (Y(t)) объекта.

При разработке математической модели динамики детерминированного объекта используют различные виды дифференциальных уравнений.

1. Для описания модели динамики стационарного объекта с сосредоточенными координатами применяют обыкновенные дифференциальные уравнения или передаточные функции:

2. Для описания модели динамики стационарного объекта с распреде дифференциальные уравнения в частных производных:

	∂Y		∂Y	Y(t,z),X(t,z),B) = 0 .
	∂t		∂z

3. Для описания модели динамики нестационарного объекта с сосредоточенными координатами применяют обыкновенные дифференциальные уравнения или передаточные функции с переменными во времени коэффициентами:

		Y(t), X(t),B(t)) = 0	или, например, W =
						T(t)p + 1

4. Для описания модели динамики нестационарного объекта с распределенными координатами применяют дифференциальные уравнения в частных производных с переменными во времени коэффициентами:

	∂Y		∂Y	Y(t,z),X(t,z),B(t)) = 0 .
	∂t		∂z

Математическая модель статики описывает установившийся режим работы объекта (dY dt = 0 ) и отображает зависимость выходных координат объ-

екта (Y) от его входных координат (X).

При разработке математической модели статики детерминированного объекта используют различные виды конечных и дифференциальных уравнений.

5. Для описания модели статики стационарного объекта с сосредоточенными координатами применяют алгебраические (конечные) уравнения

f (Y , X , B ) = 0 .

		f (Y , X , B) = 0.
	Для описания модели статики			стационарного объекта	с распреде-
ленными координатами применяют				обыкновенные дифференциальные
уравнения:
			Y (z ), X (z ), B ) = 0 .
	Для описания модели статики			нестационарного объекта	с сосредо-

точенными координатами применяют конечные уравнения с переменными во времени коэффициентами:

f (Y , X , B (t )) = 0 .
8. Для описания модели статики	нестационарного объекта	с распреде-
ленными координатами применяют	дифференциальные уравнения с пере-
менными во времени коэффициентами:
f (∂ Y ,Y (z ), X (z ), B (t )) = 0 .
∂z

1.4. Понятие об адекватности математической модели

Пусть математическая модель задана в виде уравнения статики: (1.12)

Имеется объект (оригинал), на вход которого можно подать некоторое возмущение, установив новое значение вектора входных координат X = X * . Используя эти значения в уравнении (1.12), можно найти расчет-

ные значения вектора выходных координат Y рас (X * , B * ) . Сравнивая этот

вектор с соответствующими значениями, полученными в ходе эксперимента на объекте (оригинале), можно сделать вывод о степени близости модели к оригиналу (рис.1.5).

между Y рас (X * , B * ) и вектором Y эсп (X * ) , полученном на объекте при X = X * , меньше заданного числа, т.е.

ρ [ Y (X * , B* ), Y (X * ) ] < .

где ρ – функция невязки, определяет формулу для расчета расстояния;

– допустимая ошибка, характеризует степень адекватности модели.

Рис.1.5. Определение адекватности модели объекта

Адекватность модели зависит от степени полноты и достоверности сведений об исследуемом объекте, степени детализации модели, точности идентификации параметров модели, уровня подготовки и опыта исследователя.

1.5. Общая характеристика методов составления математических моделей

Анализ любого метода разработки математической модели позволяет выделить три необходимых этапа в решении этой задачи:

определение структуры функции связи f входных X и выходных Y координат объекта (формирование в общем виде уравнения математической модели);

определение параметров модели (коэффициентов уравнения математической модели) B. Задача идентификации вектора параметров В;

проверка адекватности математической модели.

В зависимости от способов решения задач первого и второго этапов различают три группы методов составления математических моделей: формальные (экспериментально-статистические методы), неформальные (аналитические методы) и комбинированные методы.

Формальные (экспериментально-статистические) методы применяются для построения математических моделей стационарных и нестационарных объектов, только с сосредоточенными координатами. Главными особенностями этих методов являются:

одинаковые с точностью до В формальные математические модели

могут описывать разные БТС; не требуется глубокое изучение особенностей моделируемого объекта;

точность математической модели достигается путем повышения размерности вектора параметров (коэффициентов) В.

В основе формальных методов построения математических моделей лежит кибернетическое представление об объекте моделирования, как о некотором черном ящике (рис.1.6).

Рис.1.6. Блок - схема объекта моделирования

В рамках данного понятия предполагается, что:

- внутренняя структура объекта неизвестна,

- доступны для наблюдения все входы (X) и выходы (Y) объекта,

- на вход объекта можно подавать различные возмущения,

- на основе наблюдений за X и Y можно составить уравнения связи, которые в дальнейшем будут рассматриваться как уравнения математической модели объекта.

Одним из главных достоинств этой группы методов является их универсальность и полная инвариантность к исследуемой предметной области. Их использование предполагает наличие у разработчика значительного объема экспериментальных данных: результатов наблюдений (Х и Y) за объектом. Очевидно, экспериментально-статистические методы нельзя применять для построения новых объектов, объектов, находящихся в стадии проектирования, не существующих в реальности.

Особенности неформальных (аналитических) методов составления математических моделей включают факты:

Функцию связи f входных X и выходных Y координат выводят на основе анализа элементарных физико-химических процессов, протекающих в объекте моделирования;

В составляющие вектора В параметров модели (коэффициенты уравнений) входят основные конструктивные и технологические характеристики моделируемого объекта;

Полученные на основе этих методов математические модели, как правило, являются нелинейными.

Основным достоинством аналитических методов построения моделей

является возможность детального (полного) анализа характеристик объекта в широком диапазоне изменения исходных данных. Однако аналитический подход к разработке математических моделей возможен только при рассмотрении сравнительно простых объектов, в других случаях он требует значительных упрощений (допущений) описаний реальных процессов, что приводит к снижению точности моделирования. Аналитические методы разработки математических моделей не требуют постановки экспериментов и могут применяться при проведении предпроектных исследований, а также при проектировании нового объекта.

Комбинированные методы представляют собой интеграцию аналитического и формально-статистического подходов к разработке математических моделей. Например, формирование в общем виде уравнений математической модели осуществляется на основе универсальных законов сохранения (аналитический подход), а определение параметров модели выполняется экспериментально-статистическими методами. При таком подходе ослабляется главный недостаток формальных методов построения моделей: отсутствие в структуре уравнений отображения элементарных физи- ко-химических процессов, протекающих в исследуемом объекте.

Контрольные вопросы

1. Какие виды моделирования вы знаете?

2. Какой принцип лежит в основе физического моделирования?

3. Какой принцип лежит в основе математического моделирования?

4. В каком виде может быть представлена физическая модель?

5. Основные достоинство и недостатки физического моделирования.

6. В каком виде может быть представлена математическая модель?

7. Достоинства и недостатки математического моделирования.

8. Характеристические признаки имитационного моделирования.

9. Какие классификационные признаки используются для выделения отдельных классов математических моделей?

10. Что описывает математическая модель динамики?

11. Какие классы математических моделей динамики вы знаете?

12. Что описывает математическая модель статики?

13. Какие классы математических моделей статики вы знаете?

14. Перечислите этапы разработки математической модели объекта.

15. Как вы понимаете утверждение "Модель адекватна объекту"?

16. Назовите группы методов составления математических моделей.

17. Какие особенности формальных методов построения математических моделей вы знаете?

18. Особенности аналитических методов построения моделей.

Моделирование, общие понятия

Задача моделирования – исследование сложных объектов или процессов на их физических или математических моделях. Цель моделирования – найти оптимальное (наилучшее по каким-либо критериям) техническое решение. Виды моделирования:

Ø физическое;

Ø математическое;

Ø графическое (геометрическое).

При моделировании происходит замена наиболее важных свойств изучаемой системы строгими, но упрощенными по отношению к исходному природному явлению научными формулировками – моделями. Модель обеспечивает возможность точного описания и предсказания поведения системы, но только в строго ограниченной области применения - пока справедливы те исходные упрощения, на основе которых модель и строилась.

Например, при моделировании полета спутника вокруг Земли его стенки можно считать абсолютно твердым, а при моделировании столкновения того же спутника с микрометеоритом даже сверхтвердое железо можно с очень большой точностью описывать как идеальную несжимаемую жидкость. В этом парадоксальная особенность моделирования – его точность, вызванная к жизни принципиально неточными, по самой своей сущности приближенными, годными только в определенной области явлений, моделями реальной системы.

Процессы функционирования и структуру системы можно описать посредством математического моделирования. Математическое моделирование – процесс создания математической модели и действий с ней с целью получения сведений о реальной системе. Математическая модель – совокупность математических объектов и связей между ними, которая адекватно отражает важнейшие свойства системы. Математические объекты – числа, переменные, матрицы и т.п. Связи между математическими объектами – уравнения, неравенства и т.п. Любые научно-технические расчеты являются специализированными видами математического моделирования.

Система – множество закономерно связанных друг с другом элементов, образующих единую целостность, с указанием связей между ними и цели функционирования. Свойства системы отличаются от суммы свойств ее элементов. Примеры: Станок ¹ å(детали + узлы); Человек ¹ å(мозг + печень + позвоночник).

Классификация математических моделей

По способу анализа математические модели разделяют на аналитические, алгоритмические и имитационные.

Аналитические модели могут быть:

1) качественными, когда определяется характер зависимости выходных параметров от входных, само существование решения и т.д. Например, возрастет или падает сила резания с увеличением скорости, возможно ли движение со скоростью большей скорости света и т.д. Построение такой модели является необходимым шагом при изучении сложной системы.

2) счетные (аналитические) модели представляют собой явные математические зависимости между входными, внутренними и выходными характеристиками системы. Такие модели всегда предпочтительней, поскольку наиболее эффективны при анализе законов функционирования системы, оптимизации и т.д. К сожалению, получить их возможно не всегда и только при существенном упрощении изучаемой системы. Помимо счетных (аналитических) моделей, построенных на основании понимания процессов, происходящих в системе, это могут быть также и модели, построенные на основе анализа результатов экспериментов с «черным ящиком». Пример – зависимость силы резания от скорости, подачи и глубины резания.

3) численными, когда получают числовые значения выходных параметров для заданных значений входных. Пример – конечно-элементные расчеты. Численные модели универсальны, но дают лишь частные результаты, по которым трудно делать обобщенные выводы.

Алгоритмическая модель представлена в форме алгоритма вычислений. В отличие от аналитических моделей ход расчета зависит от промежуточных результатов.

Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта. При построении имитационной модели описывают законы функционирования каждого элемента в отдельности и связи между ними. В отличие от аналитического, для него характерно структурное подобие объекта и модели. Наиболее часто имитационное моделирование используется при изучении сложных случайных процессов. Например, на вход модели автоматической линии (АЛ) подают заготовки, размеры которых имеют случайный разброс. При этом модель обработки на каждом станке АЛ чувствительна к фактическим размерам заготовки. После виртуальной «обработки» сотен тысяч заготовок возможно найти то стечение обстоятельств, при котором АЛ остановится и избежать его еще при проектировании.

По характеру функционирования и виду параметров системы математические модели также подразделяются на

непрерывные и дискретные;

статические и динамические;

детерминированные и стохастические (вероятностные).

В непрерывных системах параметры изменяются постепенно, в дискретных - скачкообразно, импульсно. Например, в модели токарного резца износ постоянно возрастает, а поломка (выкрашивание пластины) происходит мгновенно – дискретно.

В статических моделях все входящие в модель параметры имеют постоянные значения и расчетные параметры на выходе системы изменяется одновременно с изменением параметров на входе. Такие модели описывают системы с быстрозатухающими переходными процессами.

Динамические модели учитывают инерционность системы. В результате изменение выходного параметра отстает от изменения входного. Такие модели более точно описывают реальную систему, но сложней в реализации.

Выход детерминированных систем однозначно определяется их входом и текущим состоянием. Возможными случайными изменениями параметров системы или входных параметров пренебрегают. В стохастических системах, наоборот, учитывается вероятностный характер изменения параметров системы, принимающих случайные значения в соответствии с каким-либо законом распределения.