Нахождение площади фигуры с помощью интеграла. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Вычисление площади фигуры – это, пожалуй, одна из наиболее сложных задач теории площадей. В школьной геометрии учат находить площади основных геометрических фигур таких как, например, треугольник, ромб, прямоугольник, трапеция, круг и т.п. Однако зачастую приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. Именно при решении таких задач очень удобно использовать интегральное исчисление.

Определение.

Криволинейной трапецией называют некоторую фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, причем функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и не меняет на нем свой знак (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G).

Определенный интеграл ʃ а b f(x)dx для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

То есть, чтобы найти площадь фигуры G, ограниченной линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, необходимо вычислить определенный интеграл ʃ а b f(x)dx.

Таким образом, S(G) = ʃ а b f(x)dx.

В случае, если функция y = f(x) не положительна на [а; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена по формуле S(G) = -ʃ а b f(x)dx.

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3 ; у = 1; х = 2.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2.

Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE.

Используя формулу S = ʃ а b f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений:

{у = х 3 ,
{у = 1.

Таким образом, имеем х 1 = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел.

Итак, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. ед.).

Ответ: 11/4 кв. ед.

Пример 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = √х; у = 2; х = 9.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая ограничена сверху графиком функции

у = √х, а снизу графиком функции у = 2. Полученная фигура показана штриховкой на рис. 3.

Искомая площадь равна S = ʃ а b (√x – 2). Найдем пределы интегрирования: b = 9, для нахождения а, решим систему двух уравнений:

{у = √х,
{у = 2.

Таким образом, имеем, что х = 4 = а – это нижний предел.

Итак, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√х| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. ед.).

Ответ: S = 2 2/3 кв. ед.

Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3 – 4х; у = 0; х ≥ 0.

Решение.

Построим график функции у = х 3 – 4х при х ≥ 0. Для этого найдем производную у’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критические точки.

Если изобразить критические точки на числовой оси и расставить знаки производной, то получим, что функция убывает от нуля до 2/√3 и возрастает от 2/√3 до плюс бесконечности. Тогда х = 2/√3 – точка минимума, минимальное значение функции у min = -16/(3√3) ≈ -3.

Определим точки пересечения графика с осями координат:

если х = 0, то у = 0, а значит, А(0; 0) – точка пересечения с осью Оу;

если у = 0, то х 3 – 4х = 0 или х(х 2 – 4) = 0, или х(х – 2)(х + 2) = 0, откуда х 1 = 0, х 2 = 2, х 3 = -2 (не подходит, т.к. х ≥ 0).

Точки А(0; 0) и В(2; 0) – точки пересечения графика с осью Ох.

Заданные линии образуют фигуру ОАВ, которая показана штриховкой на рис. 4.

Так как функция у = х 3 – 4х принимает на (0; 2) отрицательное значение, то

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Имеем: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, откуда S = 4 кв. ед.

Ответ: S = 4 кв. ед.

Пример 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х 2 – 2х + 1, прямыми х = 0, у = 0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х 0 = 2.

Решение.

Сначала составим уравнение касательной к параболе у = 2х 2 – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.

Так как производная y’ = 4x – 2, то при х 0 = 2 получим k = y’(2) = 6.

Найдем ординату точки касания: у 0 = 2 · 2 2 – 2 · 2 + 1 = 5.

Следовательно, уравнение касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.

Построим фигуру, ограниченную линиями:

у = 2х 2 – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – парабола. Точки пересечения с осями координат: А(0; 1) – с осью Оу; с осью Ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение 2х 2 – 2х + 1 = 0 не имеет решений (D < 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, то есть вершина параболы точка В имеет координаты В(1/2; 1/2).

Итак, фигура, площадь которой требуется определить, показана штриховкой на рис. 5.

Имеем: S О A В D = S OABC – S ADBC .

Найдем координаты точки D из условия:

6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Площадь треугольника DBC найдем по формуле S ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким образом,

S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2х + 1)dx = (2x 3 /3 – 2х 2 /2 + х)| 0 2 = 10/3 (кв. ед.).

Окончательно получим: S О A В D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).

Ответ: S = 1 1/4 кв. ед.

Мы разобрали примеры нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями . Для успешного решения подобных задач нужно уметь строить на плоскости линии и графики функций, находить точки пересечения линий, применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие умений и навыков вычисления определенных интегралов.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Из определения следует, что для неотрицательной функции f(x) определенный интегралравен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у =f(x), прямыми х = а, х =bи осью абсциссy= 0 (рисунок 4.1).

Если функция – f(x) неположительна, то определенный интеграл
равен площади соответствующей криволинейной трапеции, взятой со знаком минус (рисунок 4.7).

Рисунок 4.7 – Геометрический смысл определенного интеграла для неположительной функции

Для произвольной непрерывной функции f(x) определенный интеграл
равен сумме площадей криволинейных трапеций, лежащих под графиком функцииf(x) и выше оси абсцисс, за вычетом суммы площадей криволинейных трапеций, лежащих над графиком функцииf(x) и ниже оси абсцисс (рисунок 4.8).

Рисунок 4.8 – Геометрический смысл определенного интеграла для произвольной непрерывной функции f(x) (знаком «плюс» помечена площадь, которую прибавляют, а «минусом» - та, которую вычитают).

При вычислении на практике площадей криволинейных фигур часто используется следующая формула:
, гдеS– площадь фигуры, заключенной между кривыми y = f 1 (x) и y = f 2 (x) на отрезке [а,b], а f 1 (x) и f 2 (x) - непрерывные функции, заданные на этом отрезке, такие, что f 1 (x) ≥ f 2 (x) (см. рисунки 4.9, 4.10).

При изучении экономического смысла производной было выяснено, что производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта или процесса во времени или относительного другого исследуемого фактора. Чтобы установить экономический смысл определенного интеграла, необходимо саму эту скорость рассмотреть в виде функции от времени или другого фактора. Тогда, так как определенный интеграл представляет собой изменение первообразной, мы получим, что в экономике он оценивает изменение этого объекта (процесса) за определенный период времени (или при определенном изменении другого фактора).

Например, если функция q=q(t) описывает производительность труда в зависимости от времени, то определенный интеграл от этой функции
представляет собой объем выпущенной продукцииQза промежуток времени отt 0 доt 1 .

Методы вычисления определенных интегралов основаны на рассмотренных ранее методах интегрирования (доказательств проводить не будем).

При нахождении неопределенного интеграла мы пользовались методом замены переменной, основанным на формуле: f(x)dx= =f((t))`(t)dt, где x =(t) - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Для определенного интеграла формула замены переменной примет вид
, где
и для всех.

Пример 1 . Найти

Пусть t= 2 –x 2 . Тогдаdt= -2xdxиxdx= - ½dt.

При х = 0 t= 2 – 0 2 = 2. При х = 1t= 2 – 1 2 = 1. Тогда

Пример 2 . Найти

Пример 3 . Найти

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла примет вид:
, где
.

Пример 1 . Найти

Пусть u=ln(1 +x),dv=dx. Тогда

Пример 2 . Найти

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2 – 2 иy=x.

График функции y= х 2 – 2 представляет собой параболу с точкой минимума приx= 0,y= -2; ось абсцисс пересекается в точках
. График функции у = х – прямая, биссектриса неотрицательной координатной четверти.

Найдем координаты точек пересечения параболы у = х 2 – 2 и прямой у = х, решив систему этих уравнений:

х 2 – х - 2 = 0

х = 2; y= 2 или х = -1;y= -1

Таким образом, фигуру, площадь которой необходимо найти, можно представить на рисунке 4.9.

Рисунок 4.9 – Фигура, ограниченная линиями у = х 2 – 2 иy=x

На отрезке [-1, 2] х ≥ х 2 – 2 .

Воспользуемся формулой
, полагая f 1 (х) = х; f 2 (х) = х 2 – 2;a= -1;b= 2.

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 - х 2 иy= х 2 – 2x.

График функции y = 4 - х 2 представляет собой параболу с точкой максимума приx= 0,y= 4; ось абсцисс пересекается в точках 2 и -2. График функции у = х 2 – 2x– парабола с точкой минимума при 2x- 2 = 0, х = 1;y= -1; ось абсцисс пересекается в точках 0 и 2.

Найдем координаты точек пересечения кривых:

4 - х 2 = х 2 – 2х

2х 2 – 2х - 4 = 0

х 2 – х - 2 = 0

х = 2; y= 0 или х = -1;y= 3

Таким образом, фигуру, площадь которой необходимо найти, можно предствить на рисунке 4.10.

Рисунок 4.10 - Фигура, ограниченная линиями у = 4 - х 2 иy= х 2 – 2x

На отрезке [-1, 2] 4 - х 2 ≥ х 2 – 2x.

Воспользуемся формулой
, полагая f 1 (х) = 4 - - х 2 ; f 2 (х) = х 2 – 2х;a= -1;b= 2.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1/х;y= х 2 иy= 4 в неотрицательной координатной четверти.

График функции у = 1/х представляет собой гиперболу, при положительных х она выпукла вниз; оси координат являются асимптотами. График функции у = х 2 в неотрицательной координатной четверти – ветвь параболы с точкой минимума в начале координат. Эти графики пересекаются при 1/х = х 2 ; х 3 = 1; х = 1; у = 1.

Прямую y= 4 график функции у = 1/х пересекает при х =1/4, а график функции у = х 2 при х = 2 (или -2).

Таким образом, фигуру, площадь которой необходимо найти, можно представить на рисунке 4.11.

Рисунок 4.11 - Фигура, ограниченная линиями у = 1/х; y= х 2 иy= 4 в неотрицательной координатной четверти

Искомая площадь фигуры ABCравна разности между площадью прямоугольника АВНЕ, которая равна 4*(2 – ¼) = 7, и суммой площадей двух криволинейных трапеций АСFЕ и СВНF. Вычислим площадь АСFЕ:

Вычислим площадь СВНF:

Итак, искомая площадь равна 7 – (ln4 + 7/3) = 14/3 –ln43,28 (ед. 2).

Определение. Разность F (b)– F (a) называется интегралом от функции f (x) на отрезке [ a ; b ] и обозначается так: = F (b)– F (a) – формула Ньютона-Лейбница.

Геометрический смысл интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:

Вычисление площадей с помощью интеграла.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и прямыми х=а, х= b:

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и осью Ох:

Задачи и тесты по теме "Интеграл. Вычисление площадей с помощью интеграла"

Интеграл
Уроков: 4 Заданий: 13 Тестов: 1
Вычисление площадей с помощью интегралов - Первообразная и интеграл 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1
Первообразная - Первообразная и интеграл 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 11 Тестов: 1
Планиметрия: вычисление длин и площадей
Заданий: 7
Вычисления и преобразования - Подготовка к ЕГЭ по математике ЕГЭ по математике
Заданий: 10

Прежде чем начать вычислять площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, постарайтесь изобразить эту фигуру в системе координат. Это существенно облегчит решение задачи.

Изучение теоретических материалов по данной теме дает Вам возможность овладеть понятиями первообразной и интеграла, усвоить связь между ними, овладеть простейшей техникой интегрального исчисления, научится применять интеграл к вычислению площадей фигур, ограниченных графиками функций.

Примеры.

1. Вычислить интеграл

Решение:

Ответ: 0.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

a) f ( x ) = 2 х – х 2 и осью абсцисс

Решение: График функции f(x) = 2x - х 2 парабола. Вершина: (1; 1).

Ответ: (кв. ед.).

Урок по математике для первого курса учреждений среднего профессионального образования

Тема: “Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”.

Преподаватель математики С.Б. Баранова

Образовательные задачи:

обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала по данной теме;

создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений.

Развивающие задачи:

способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;

продолжить развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные задачи:

содействовать воспитанию интереса к математике;

воспитание активности, мобильности, умения общаться.

Тип урока – комбинированный урок с элементами проблемного обучения.

Методы и приёмы обучения – проблемный, наглядный, самостоятельная работа студентов, самопроверка.

Оборудование – приложение к уроку, таблицы.

План урока

Организационный момент. Подготовка студентов к работе на занятии.

Подготовка студентов к активной деятельности (проверка вычислительных навыков и таблиц интегралов по группам).

Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

Работа с новым материалом.

Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

Домашнее задание.

Применение знаний.

Подведение итогов.

Рефлексия.

Ход урока

1. Организационный момент.

Понятие определенного интеграла является одним из основных понятий математики. К концу 17 в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который составляет основу математического анализа.

На предыдущих занятиях мы научились “брать” неопределенные интегралы, вычислять определенные интегралы. Но куда важнее применение определенного интеграла. Мы знаем, что с его помощью можно вычислять площади криволинейных трапеций. Сегодня мы ответим на вопрос: “Как это сделать?”

2. Подготовка студентов к активной деятельности.

Но сначала нам необходимо проверить вычислительные навыки и знание таблицы интегралов. Перед вами задание, результатом выполнения которого будет высказывание французского математика С.Д. Пуассона (Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием).

Задание выполняется парами ().

3. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

Переходим к теме нашего занятия “Вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”. Кроме умения вычислять определенный интеграл, нам нужно вспомнить свойства площадей. В чем они заключаются?

Равные фигуры имеют равные площади.

Если фигура разбита на две части, то её площадь находится как сумма площадей отдельных частей.

Также нам нужно повторить правило интеграла суммы и формулу Ньютона-Лейбница.

4. Работа с новым интегралом

1. Определенный интеграл служит для вычисления площадей криволинейных трапеций. Но на практике чаще встречаются фигуры, которые таковыми не являются и нам необходимо научиться находить площади именно таких фигур.

Работа по таблице “Основные случаи расположения плоской фигуры и соответствующие формулы площадей” ().

2. Давай проверим себя.

Работа с заданием () с последующей проверкой (таблица №3).

3. Но умения правильно выбирать формулы для площади недостаточно. На следующей таблице () в каждом из заданий есть “внешняя” причина, не позволяющая вычислить площадь фигуры. Найдём их.

а) не указаны формулы для графиков функций.

б) нет пределов интегрирования.

в) не указаны названия графиков и нет одного предела.

г) не указана формула одного из графиков.

4. С учетом проделанной работы, сформулируем и запишем алгоритм решения задач на тему урока.

Построить графики данных линий. Определить искомую фигуру.

Найти пределы интегрирования.

Записать площадь искомой фигуры с помощью определенного интеграла.

Вычислить полученный интеграл.

5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

1. С учетом алгоритма выполним задание №2 из последней таблицы.

Рисунок 1

Решение:

Для точки А:

– не удовлетворяет условию задания

Для точки В:

– не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: (кв. ед).

2. Но при выполнении этого задания алгоритм применялся не полностью. Для его отработки выполним следующее задание

Задание. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Рисунок 2

Решение:

– парабола, вершина (m,n).

(0;2) – вершина

Найдём пределы интегрирования.

Ответ: (кв.ед).

6. Домашнее задание.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (задание разобрать).

7. Применение знаний.

Самостоятельная работа (Приложение №5))

8. Подведение итогов.

научились составлять формулы для нахождения площадей плоских фигур;

находить пределы интегрирования;

вычислять площади фигур.

9. Рефлексия.

Студентам раздаются листочки. Они должны оценить свою работу, выбрав один из предложенных вариантов ответа.

Оценить степень сложности урока.

Вам было на уроке:

легко;

обычно;

трудно.

усвоил полностью, могу применить;

усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;

усвоил частично;

не усвоил.

Просмотрев ответы, сделать вывод о подготовленности студентов к практической работе.

Используемая литература:

Валуцэ И.И., Дилигулин Г.Д. Математика для техникумов.

Крамер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Высшая математика для экономистов.

Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика, ч.1.

Званич Л.И., Рязановский А.Р. М., Новая школа.

Газета “Математика”. Издательский дом “Первое сентября”.

Приложение № 1

Вычислите определённые интегралы и вы узнаете одно из высказываний французского математика С.Д.Пуассона.

Жизнь

Тремя

Двумя

Вещами

Занятием

Математикой

Арифметикой

Преподаванием

Её

Украшается

Забыванием

Приложение № 2

ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЕЙ

______________________________________

__________________________________ ______

________________________________ ______

___________________________________

Фигура симметричная относительно оси ординат или начала координат.

Приложение № 3

Используя определенный интеграл, запишите формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунке.

_________________________________________

__________________________________________

___________________________________________

____________________________________________

Приложение № 4

Найти «внешнюю» причину, не позволяющую вычислить площадь фигуры.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

_____________________________

Приложение № 5

Самостоятельная работа

Вариант 1

Запишите с помощью интегралов площади фигур и вычислите их

Нарисуйте фигуры, пл ощади которых равны следующим интегралам:

Самостоятельная работа

Вариант 2

1. Нарисуйте фигуры, площади которых равны следующим интегралам:

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x для непрерывной и неотрицательной функции y = f (x) на отрезке [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x для непрерывной и неположительной функции y = f (x) на отрезке [ a ; b ] .

Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y = f (x) или x = g (y) .

Теорема

Пусть функции y = f 1 (x) и y = f 2 (x) определены и непрерывны на отрезке [ a ; b ] , причем f 1 (x) ≤ f 2 (x) для любого значения x из [ a ; b ] . Тогда формула для вычисления площади фигуры G , ограниченной линиями x = a , x = b , y = f 1 (x) и y = f 2 (x) будет иметь вид S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y = c , y = d , x = g 1 (y) и x = g 2 (y) : S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Доказательство

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G 1 равна площади фигуры G 2 . Это значит, что

Поэтому, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Во втором случае справедливо равенство: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Если обе функции неположительные, получаем: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y = f 1 (x) и y = f 2 (x) пересекают ось O x .

Точки пересечения мы обозначим как x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Эти точки разбивают отрезок [ a ; b ] на n частей x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , где α = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Следовательно,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f (x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

Формулу S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x можно считать доказанной.

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y = f (x) и x = g (y) .

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Пример 1

Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y = - x 2 + 6 x - 5 и прямыми линиями y = - 1 3 x - 1 2 , x = 1 , x = 4 .

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

На отрезке [ 1 ; 4 ] график параболы y = - x 2 + 6 x - 5 расположен выше прямой y = - 1 3 x - 1 2 . В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Ответ: S (G) = 13

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Решение

В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x = 7 . Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y = x и полу параболы y = x + 2 . Для нахождения абсциссы используем равенства:

y = x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З

Получается, что абсциссой точки пересечения является x = 2 .

Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y = x + 2 , y = x пересекаются в точке (2 ; 2) , поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

На интервале [ 2 ; 7 ] график функции y = x расположен выше графика функции y = x + 2 . Применим формулу для вычисления площади:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Ответ: S (G) = 59 6

Пример 3

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y = 1 x и y = - x 2 + 4 x - 2 .

Решение

Нанесем линии на график.

Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1 x и - x 2 + 4 x - 2 . При условии, что x не равно нулю, равенство 1 x = - x 2 + 4 x - 2 становится эквивалентным уравнению третьей степени - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

Корнем этого уравнения является х = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0 .

Разделив выражение - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 на двучлен x - 1 , получаем: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Мы нашли интервал x ∈ 1 ; 3 + 13 2 , на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Ответ: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Пример 4

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y = x 3 , y = - log 2 x + 1 и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y = - log 2 x + 1 из графика y = log 2 x , если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у = 0 .

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций y = x 3 и y = 0 пересекаются в точке (0 ; 0) . Так получается потому, что х = 0 является единственным действительным корнем уравнения x 3 = 0 .

x = 2 является единственным корнем уравнения - log 2 x + 1 = 0 , поэтому графики функций y = - log 2 x + 1 и y = 0 пересекаются в точке (2 ; 0) .

x = 1 является единственным корнем уравнения x 3 = - log 2 x + 1 . В связи с этим графики функций y = x 3 и y = - log 2 x + 1 пересекаются в точке (1 ; 1) . Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x 3 = - log 2 x + 1 не может иметь более одного корня, так как функция y = x 3 является строго возрастающей, а функция y = - log 2 x + 1 строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x ∈ 0 ; 1 , а вторая ниже красной линии на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это значит, что площадь будет равна S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Вариант №2

Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x ∈ 0 ; 2 , а вторая между красной и синей линиями на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y . Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y .

Разрешим уравнения y = x 3 и - log 2 x + 1 относительно x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Получим искомую площадь:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Ответ: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Пример 5

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x , y = 2 3 x - 3 , y = - 1 2 x + 4 .

Решение

Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y = x . Синим цветом нанесем линию y = - 1 2 x + 4 , черным цветом обозначим линию y = 2 3 x - 3 .

Отметим точки пересечения.

Найдем точки пересечения графиков функций y = x и y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 О Д З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 П р о в е р к а: x 1 = 16 = 4 , - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 · 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н и н и я ⇒ (4 ; 2) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = x и y = - 1 2 x + 4

Найдем точку пересечения графиков функций y = x и y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45) 2 - 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 - 729 8 = 9 4 П р о в е р к а: x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я ⇒ (9 ; 3) т о ч к а п е р е с е ч а н и я y = x и y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я

Найдем точку пересечения линий y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Тогда площадь фигуры равна:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Тогда решим уравнение линии относительно x , а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

y = x ⇒ x = y 2 к р а с н а я л и н и я y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ч е р н а я л и н и я y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 с и н я я л и н и я

Таким образом, площадь равна:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S (G) = 11 3

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter