Комплексные числа сложные примеры. Портал тоэ - калькуляторы
Напомним необходимые сведения о комплексных числах.
Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.
Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:
(Например, .)
У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a ; b ) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a ; b ) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z . Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ ; r · sin φ ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z | · (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра : z n = |z | n · (cos(n · (Arg z )) + i sin(n · (Arg z ))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z - это такое комплексное число w , что w n = z . Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).
Занятие 12 . Комплексные числа.
12.1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.
12.2. Модуль, аргумент комплексного числа.
12.3. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.
12.4. Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.
Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.
Комплексным числом в алгебраической форме называется число
где
называется мнимой единицей
и
- действительные числа:
называется действительной (вещественной)
частью
;
- мнимой частью
комплексного числа
.
Комплексные числа вида
называются чисто мнимыми числами
.
Множество всех комплексных чисел
обозначается буквой
.
По определению,
Множество всех действительных чисел
является частью множества
:
.
С другой стороны, существуют комплексные
числа, не принадлежащие множеству
.
Например,
и
,
т.к.
.
Комплексные числа в алгебраической форме естественным образом возникают при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
Пример 1
. Решить уравнение
.
Решение. ,
Следовательно, заданное квадратное уравнение имеет комплексные корни
,
.
Пример 2 . Найти действительную и мнимую части комплексных чисел
,
,
.
Соответственно вещественная и мнимая части числа ,
Любое комплексное число
изображается вектором на комплексной
плоскости
,
представляющей плоскость с декартовой
системой координат
.
Начало вектора лежит в точке
,
а конец - в точке с координатами
(рис
1.) Ось
называется
вещественной осью, а ось
- мнимой осью комплексной плоскости
.
Комплексные числа
сравниваются между собой только знаками
.
.
Если же хотя бы одно из равенств:
нарушено, то
.
Записи типа
не имеют смысла
.
По определению, комплексное число
называется комплексно сопряженным
числу
.
В этом случае пишут
.
Очевидно, что
.
Везде далее черта сверху над комплексным
числом будет означать комплексное
сопряжение.
Например, .
Над комплексными числами можно выполнять такие операции, как сложение (вычитание), умножение, деление.
1. Сложение комплексных чисел производится так:
Свойства операции сложения:
- свойство коммутативности;
- свойство ассоциативности.
Нетрудно видеть, что геометрически
сложение комплексных чисел
означает сложение отвечающих им на
плоскости
векторов по правилу параллелограмма.
Операция вычитание числа из числа производится так:
2. Умножение комплексных чисел производится так:
Свойства операции умножения:
- свойство коммутативности;
- свойство ассоциативности;
- закон дистрибутивности.
3. Деление комплексных чисел
выполнимо только при
и производится так:
.
Пример 3
. Найти
,
если
.
Пример 4
. Вычислить
,
если
.
z, т.к.
.
.(ош!)
Нетрудно проверить (предлагается это
сделать самостоятельно) справедливость
следующих утверждений:
Модуль, аргумент комплексного числа.
Модуль комплексного числа
(модуль
обозначается
)
это - неотрицательное число
,
т.е.
.
Геометрический смысл
- длина вектора, представляющего число
на комплексной плоскости
.
Уравнение
определяет множество всех чисел
(векторов на
),
концы которых лежат на единичной
окружности
.
Аргумент комплексного числа
(аргумент
обозначается
)
это – угол
в радианах между вещественной осью
и числом
на комплексной плоскости
,
причем
положителен, если он отсчитывается от
до
против часовой стрелки, и
отрицателен, если
отсчитывается от оси
до
по часовой стрелке
.
Таким образом, аргумент числа
определяется неоднозначно, с точностью
до слагаемого
,
где
.
Однозначно аргумент числа
определяется в пределах одного обхода
единичной окружности
на плоскости
.
Обычно требуется найти
в пределах интервала
,
такое значение называется главным
значением аргумента числа
и обозначается
.
и
числа
можно найти из уравнения
,
при этом обязательно
нужно
учитывать
, в какой четверти плоскости
лежит конец вектора
- точка
:
если
(1-я четверть плоскости
),
то
;
если
(2-я четверть плоскости
),
то;
если
(3-я четверть плоскости
),
то
;
если
(4-я четверть плоскости
),
то
.
Фактически, модуль и аргумент числа
,
это полярные координаты
точки
- конца вектора
на плоскости
.
Пример 5 . Найти модуль и главное значение аргумента чисел:
.
Аргументы чисел
,
лежащих осях
,
разделяющих четверти 1,2,3,4 комплексной
плоскости
,
находятся сразу же по графическим
изображениям этих чисел на плоскости
.
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах записи.
Тригонометрическая форма записи
комплексного числа
имеет вид:
, (2)
где - модуль, - аргумент комплексного числа . Такое представление комплексных чисел вытекает из равенств .
Показательная
(экспоненциальная
)
форма записи комплексного числа
имеет вид:
, (3)
где - модуль, - аргумент числа . Возможность представления комплексных чисел в показательной форме (3) вытекает из тригонометрической формы (2) и формулы Эйлера:
. (4)
Эта формула доказывается в курсе ТФКП (Теория функций комплексного переменного).
Пример 6 . Найти тригонометрическую и экспоненциальную формы записи комплексных чисел: из примера 5.
Решение. Воспользуемся результатами примера 5, в котором найдены модули и аргументы всех указанных чисел.
,
.
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
3)
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
Тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
5)
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
Тригонометрическая форма числа ,
.
7)
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма числа .
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
Показательная форма записи комплексных
чисел приводит к следующей геометрической
трактовке операций умножения и деления
комплексных чисел. Пусть
- показательные формы чисел
.
1. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются .
2.
При делении комплексного числа
на число
получается комплексное число
,
модуль
которого равен отношению модулей
,
а аргумент
- разности
аргументов чисел
.
Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.
По определению,
При возведении в целую степень
комплексного
числа
,
следует действовать так: сначала найти
модуль
и аргумент
этого числа; представить
в показательной форме
;
найти
,
выполнив следующую последовательность
действий
Где . (5)
Замечание.
Аргумент
числа
может не принадлежать интервалу
.
В этом случае следует по полученному
значению
найти главное значение
аргумента
числа
,
прибавляя (или вычитая) число
с таким значением
,
чтобы
принадлежало интервалу
.
После этого, нужно заменить в формулах
(5)
на
.
Пример 7
. Найти
и
,
если
.
1)
=
(см. число
из примера 6).
2)
,
где
.
.
.
Следовательно, можно заменить на и, значит,
Где
.
3)
,
где
.
.
Заменим на . Следовательно,
Извлечение корня
-й
степени
из комплексного числа
проводится по формуле Муавра-Лапласа
Использование калькулятора
Для вычисления выражения необходимо ввести строку для вычисления. При вводе чисел, разделителем целой и дробной части является точка. Можно использовать скобки. Операциями над комплексными числами являются умножение (*), деление (/), сложение (+), вычитание (-), возведение в степень (^) и другие. В качестве записи комплексных чисел можно использовать показательную и алгебраическую форму. Вводить мнимую единицу i можно без знака умножения, в остальных случаях знак умножения обязателен, например, между скобками или между числом и константой. Также могут быть использованы константы: число π вводится как pi, экспонента e , любые выражения в показателе должны быть обрамлены скобками.
Пример строки для вычисления: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi) , что соответствует выражению \[\frac{(4{,}5 + i12)(3{,}2i-2{,}5)}{e^{i1{,}25\pi}}\]
В калькуляторе возможно использование констант, математических функций, дополнительных операций и более сложных выражений, ознакомиться с этими возможностями вы можете на странице общих правил использования калькуляторов на этом сайте.
Сайт находится в разработке, некоторые страницы могут быть недоступны.
Новости
07.07.2016
Добавлен калькулятор для решения систем нелинейных алгебраических уравнений: .
30.06.2016
На сайте реализован адаптивный дизайн, страницы адекватно отображаются как на больших мониторах, так и на мобильных устройствах.
Спонсор
РГРОнлайн.ru – мгновенное решение работ по электротехнике онлайн.
Комплексные числа
Мнимые и комплексные числа. Абсцисса и ордината
комплексного числа. Сопряжённые комплексные числа.
Операции с комплексными числами. Геометрическое
представление комплексных чисел. Комплексная плоскость.
Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая
форма комплексного числа. Операции с комплексными
числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.
Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая
D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физикии техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.
Комплексные числа записываются в виде: a + bi . Здесь a и b – действительные числа , а i – мнимая единица, т. e . i 2 = –1. Число a называется абсциссой , a b – ординатой комплексного числа a + bi . Два комплексных числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.
Основные договорённости:
1. Действительное число
а может быть также записано в форме комплексного числа: a + 0 i или a – 0 i . Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5 .2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом . Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi .
3. Два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d . В противном случае комплексные числа не равны.
Сложение. Суммой комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (a + c ) + (b + d ) i . Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.
Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.
Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + (b – d ) i .
Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.
Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число:
( ac – bd ) + (ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:
1) числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,
2) число i обладает основным свойством: i 2 = – 1.
П р и м е р . (a+ bi )( a – bi ) = a 2 + b 2 . Следовательно, произведение
двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному
положительному числу.
Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) - значит найти третье число e + f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c + di , даёт в результате делимое a + bi .
Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.
П р и м е р. Найти (8 + i ) : (2 – 3 i ) .
Р е ш е н и е. Перепишем это отношение в виде дроби:
Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3 i
И выполнив все преобразования, получим:
Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:
Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью .
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi | или буквой r