Алгебраические выражения и их характеристики методическая разработка по алгебре на тему. Правило значение алгебраического выражения Алгебраические выражения примеры и решения
На уроках алгебры в школе мы сталкиваемся с выражениями различного вида. По мере изучения нового материала записи выражений становятся все разнообразнее и сложнее. Например, познакомились со степенями – в составе выражений появились степени, изучили дроби – появились дробные выражения и т.д.
Для удобства описания материала, выражениям, состоящим из схожих элементов, дали определенные названия, чтобы выделить их из всего разнообразия выражений. В этой статье мы ознакомимся с ними, то есть, дадим обзор основных выражений, изучаемых на уроках алгебры в школе.
Навигация по странице.
Одночлены и многочлены
Начнем с выражений, имеющих название одночлены и многочлены . На момент написания этой статьи разговор про одночлены и многочлены начинается на уроках алгебры в 7 классе. Там даются следующие определения.
Определение.
Одночленами называются числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.
Определение.
Многочлены – это сумма одночленов.
Например, число 5 , переменная x , степень z 7 , произведения 5·x и 7·x·2·7·z 7 – это все одночлены. Если же взять сумму одночленов, например, 5+x или z 7 +7+7·x·2·7·z 7 , то получим многочлен.
Работа с одночленами и многочленами часто подразумевает выполнение действий с ними. Так на множестве одночленов определено умножение одночленов и возведение одночлена в степень , в том смысле, что в результате их выполнения получается одночлен.
На множестве многочленов определено сложение, вычитание, умножение, возведение в степень. Как определяются эти действия, и по каким правилам они выполняются, мы поговорим в статье действия с многочленами .
Если говорить про многочлены с единственной переменной, то при работе с ними значительную практическую значимость имеет деление многочлена на многочлен , а также часто такие многочлены приходится представлять в виде произведения, это действие имеет название разложение многочлена на множители .
Рациональные (алгебраические) дроби
В 8 классе начинается изучение выражений, содержащих деление на выражение с переменными. И первыми такими выражениями выступают рациональные дроби , которые некоторые авторы называют алгебраическими дробями .
Определение.
Рациональная (алгебраическая) дробь это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, в частности, одночлены и числа.
Приведем несколько примеров рациональных дробей: и . К слову, любая обыкновенная дробь является рациональной (алгебраической) дробью.
На множестве алгебраических дробей вводятся сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. Как это делается объяснено в статье действия с алгебраическими дробями .
Часто приходится выполнять и преобразование алгебраических дробей , наиболее распространенными из них являются сокращение и приведение к новому знаменателю.
Рациональные выражения
Определение.
Выражения со степенями (степенные выражения) – это выражения, содержащие степени в своей записи.
Приведем несколько примеров выражений со степенями. Они могут не содержать переменных, например, 2 3 , . Также имеют место степенные выражения с переменными: и т.п.
Не помешает ознакомиться с тем, как выполняется преобразование выражений со степенями .
Иррациональные выражения, выражения с корнями
Определение.
Выражения, содержащие логарифмы называют логарифмическими выражениями .
Примерами логарифмических выражений являются log 3 9+lne , log 2 (4·a·b) , .
Очень часто в выражениях встречаются одновременно и степени и логарифмы, что и понятно, так как по определению логарифм есть показатель степени. В результате естественно выглядят выражения подобного вида: .
В продолжение темы обращайтесь к материалу преобразование логарифмических выражений .
Дроби
В этом пункте мы рассмотрим выражения особого вида - дроби.
Дробь расширяет понятие . Дроби также имеют числитель и знаменатель, находящиеся соответственно сверху и снизу горизонтальной дробной черты (слева и справа наклонной дробной черты). Только в отличие от обыкновенных дробей, в числителе и знаменателе могут быть не только натуральные числа, но и любые другие числа, а также любые выражения.
Итак, дадим определение дроби.
Определение.
Дробь – это выражение, состоящее из разделенных дробной чертой числителя и знаменателя, которые представляют собой некоторые числовые или буквенные выражения или числа.
Данное определение позволяет привести примеры дробей.
Начнем с примеров дробей, числителями и знаменателями которых являются числа: 1/4 , , (−15)/(−2) . В числителе и знаменателе дроби могут быть и выражения, как числовые, так и буквенные. Вот примеры таких дробей: (a+1)/3 , (a+b+c)/(a 2 +b 2) , .
А вот выражения 2/5−3/7 , дробями не являются, хотя и содержат дроби в своих записях.
Выражения общего вида
В старших классах, особенно в задачах повышенной трудности и задачах группы С в ЕГЭ по математике, будут попадаться выражения сложного вида, содержащие в своей записи одновременно и корни, и степени, и логарифмы, и тригонометрические функции, и т.п. Например, или . Они по виду подходят под несколько типов перечисленных выше выражений. Но их обычно не относят ни к одному из них. Их считают выражениями общего вида , а при описании говорят просто выражение, не добавляя дополнительных уточнений.
Завершая статью, хочется сказать, что если данное выражение громоздкое, и если Вы не совсем уверены, к какому виду оно относится, то лучше назвать его просто выражением, чем назвать его таким выражением, каким оно не является.
Список литературы.
- Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
Алгебраические выражения составляются из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и с помощью скобок.
Рассмотрим некоторые примеры алгебраических выражений:
2a 2 b – 3ab 2 (a + b)
(1/a + 1/b – c/3) 3 .
Существует несколько видов алгебраических выражений.
Целым называется такое алгебраическое выражение, которое не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных (в том числе, возведения в степень с дробным показателем).
2a 2 b – 3ab 2 (a + b) является целым алгебраическим выражением.
(1/a + 1/b – c/3) 3 не является целым алгебраическим выражением, т.к. содержит деление на переменную.
Дробным называется такое алгебраическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления.
(1/a + 1/b – c/3) 3 является дробным алгебраическим выражением.
Рациональными алгебраическими выражениями называются целые и дробные выражения.
Значит, и 2a 2 b – 3ab 2 (a + b), и (1/a + 1/b – c/3) 3 – это рациональные алгебраические выражения.
Иррациональное алгебраическое выражение – это такое алгебраическое выражение, в котором используются извлечение корня из переменных (или возведение переменных в дробную степень).
a 2/3 – b 2/3 – иррациональное алгебраическое выражение.
Иными словами, все алгебраические выражения делятся на две большие группы: рациональные и иррациональные алгебраические выражения. Рациональные выражения, в свою очередь, делятся на целые и дробные.
Допустимым значением переменных называется такое значение переменных, при котором алгебраическое выражение имеет смысл. Множество всех допустимых значений переменной – это область определения алгебраического выражения.
Целые выражения имеют смысл при любых значениях его переменных. Например, 2a 2 b – 3ab 2 (a + b) имеет смысл и при a = 0, b = 1, и при a = 3, b = 6 и др.
Предположим, что a = 0, b = 1, и попробуем найти решение выражения
2a 2 b – 3ab 2 (a + b).
Если a = 0, b = 1, то 2 ∙ 0 2 ∙ 1 – 3 ∙ 0 ∙ 1 2 ∙ (0 + 1) = 0 ∙ 0 = 0.
Значит, при a = 0, b = 1 выражение равно 0.
Дробные выражения имеют смысл только в том случае, если значения не обращают переменные в нуль: вспомним наше «золотое правило» – на нуль делить нельзя.
Выражение (1/a + 1/b – c/3) 3 имеет смысл при a и b не равных нулю (а ≠ 0, b ≠ 0). В противном случае мы получим деление на нуль.
Иррациональное выражение не будет иметь смысл при значениях переменных, которые обращают в отрицательное число выражение, содержащееся под знаком корня четной степени или под знаком возведения в дробную степень.
Выражение a 2/3 – b 2/3 имеет смысл при a ≥ 0 и b ≥ 0. В противном случае мы столкнемся с возведением в дробную степень отрицательного числа.
Значением алгебраического выражения называется числовое выражение, получившееся в результате того, что переменным придали допустимые значения.
Найдем значение алгебраического выражения
a + b + c/5 при a = 6, b = 3, c = 5.
1. Выражение a + b + c/5 является целым алгебраическим выражением → все значения являются допустимыми.
2. Подставим числовые значения переменных и получим:
6 + 3 + 5/5 = 9 + 1 = 10.
Итак, ответ: 10.
Тождеством называют равенство, которое верно при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
Тождественно равными называются выражения, соответственные значения которых совпадают при всех допустимых значениях переменных. Так, выражения x 5 и x 2 ∙ x 3 , a + b + c и b + c + a являются тождественно равными между собой.
Понятие тождественно равных выражений приводит нас к еще одному важному понятию – тождественное преобразование выражений.
Тождественным преобразованием выражения называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему.
Это значит, выражение x 5 можно тождественно преобразовать в выражение x 2 ∙ x 3 .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Алгебраическое выражение
выражение, составленное из букв и цифр, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (показатели степени и корня должны быть постоянными числами). А. в. называется рациональным относительно некоторых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком извлечения корня, например рационально относительно a, b и с. А. в. называется целым относительно некоторых букв, если оно не содержит деления на выражения, содержащие эти буквы, например 3а/с + bc 2 - 3ас/4
является целым относительно а и b. Если некоторые из букв (или все) считать переменными, то А. в. есть Алгебраическая функция .
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Алгебраическое выражение" в других словарях:
Выражение, составленное из букв и чисел, соединенных знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Большой Энциклопедический словарь
алгебраическое выражение - — Тематики нефтегазовая промышленность EN algebraic expression … Справочник технического переводчика
Алгебраическим выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в целую… … Википедия
Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня. * * * АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, выражение,… … Энциклопедический словарь
алгебраическое выражение - algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. algebraic expression vok. algebraischer Ausdruck, m rus. алгебраическое выражение, n pranc. expression algébrique, f … Fizikos terminų žodynas
Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебр. действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Естествознание. Энциклопедический словарь
Алгебраическим выражением относительно данного переменного, в отличие от трансцендентного, называют такое выражение, которое не содержит иных функций от данного количества, кроме сумм, произведений или степеней этого количества, причем слагаемыми … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ВЫРАЖЕНИЕ, выражения, ср. 1. Действие по гл. выразить выражать. Не нахожу слов для выражения своей благодарности. 2. чаще ед. Воплощение идеи в формах какого нибудь искусства (филос.). Только крупный художник способен создать такое выражение,… … Толковый словарь Ушакова
Уравнение, получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений (См. Алгебраическое выражение). А. у. с одним неизвестным называется дробным, если неизвестное входит в знаменатель, и иррациональным, если неизвестное входит под… … Большая советская энциклопедия
ВЫРАЖЕНИЕ - первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… … Большая политехническая энциклопедия
Алгебраические выражения начинают изучать в 7 классе. Они обладают рядом свойств и используются в решении задач. Изучим эту тему подробнее и рассмотрим пример решения задачи.
Определение понятия
Какие выражения называют алгебраическими? Это математическая запись, составленная из цифр, букв и знаков арифметических действий. Наличие букв – это основное отличие числовых и алгебраических выражений. Примеры:
- 4а+5;
- 6b-8;
- 5с:6*(8+5).
Буква в алгебраических выражений обозначает какое-либо число. Поэтому она называется переменной – в первом примере это буква а, во втором – b, а в третьем – с. Само алгебраическое выражение еще называют выражением с переменной .
Значение выражения
Значение алгебраического выражения – это число, получаемое в результате выполнения всех арифметических действий, которые указаны в этом выражении. Но, чтобы его получить, буквы необходимо заменить числами. Поэтому в примерах всегда указывают, какое число соответствует букве. Рассмотрим, как найти значение выражения 8а-14*(5-а), если а=3.
Подставим вместо буквы а цифру 3. Получаем следующую запись: 8*3-14*(5-3).
Как и в числовых выражениях, решение алгебраического выражения проводится по правилам выполнения арифметических действий. Решим все по порядку.
- 5-3=2.
- 8*3=24.
- 14*2=28.
- 24-28=-4.
Таким образом, значение выражения 8а-14*(5-а) при а=3 равно -4.
Значение переменной называют допустимым, если при нем выражение имеет смысл, то есть возможно найти его решение.
Пример допустимой переменной для выражения 5:2а – это цифра 1.
Подставив ее в выражение, получаем 5:2*1=2,5. Недопустимая переменная для данного выражения – это 0. Если подставить ноль в выражение, получаем 5:2*0, то есть 5:0. На ноль делить нельзя, значит, выражение не имеет смысла.
Тождественные выражения
Если два выражения при любых значениях входящих в их состав переменных оказываются равны, их называют тождественными
.
Пример тождественных выражений
:
4(а+с) и 4а+4с.
Какие бы значения ни принимали буквы а и с, выражения всегда окажутся равны. Любое выражение можно заменить другим, тождественным ему. Этот процесс называют тождественным преобразованием.
Пример тождественного преобразования
.
4*(5а+14с) – данное выражение можно заменить тождественным, применив математический закон умножения. Чтобы умножить число на сумму двух чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
- 4*5а=20а.
- 4*14с=64с.
- 20а+64с.
Таким образом, выражению 4*(5а+14с) является тождественным 20а+64с.
Число, стоящее в алгебраическом выражении перед буквенной переменной, называется коэффициентом. Коэффициент и переменная – это множители.
Решение задач
Алгебраические выражения используют для решения задач и уравнений.
Рассмотрим задачу. Петя придумал число. Для того, чтобы его отгадал одноклассник Саша, Петя сказал ему: сначала я прибавил к числу 7, затем вычел из него 5 и умножил на 2. В результате я получил число 28. Какое число я загадал?
Для решения задачи нужно загаданное число обозначить буквой а, а затем произвести все указанные действия с ним.
- (а+7)-5.
- ((а+7)-5)*2=28.
Теперь решим полученное уравнение.
Петя загадал число 12.
Что мы узнали?
Алгебраическое выражение – запись, составленная из букв, цифр и знаков арифметических действий. Каждое выражение имеет значение, которое находят путем выполнения всех арифметических действий в выражении. Буква в алгебраическом выражении называется переменной, а число перед ней – коэффициентом. Алгебраические выражения используют для решения задач.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 529.
На этом уроке мы вспомним, что такое алгебраическое выражение, как найти его значение при заданных значениях переменных. Выясним, какие значения переменных могут быть недопустимыми для данного выражения. А также научимся выполнять различные действия с числовыми и алгебраическими выражениями.
Определение : алгебраическое выражение - это любая составленная со смыслом запись, которая может содержать только числа, буквы, знаки действия и скобки. Например, .
Можно вычислить значение алгебраического выражения при заданных значениях переменных, для этого достаточно подставить значение в выражение и выполнить вычисления. Например, при значение выражения : .
Задача 1 . Найдите значение выражения при .
Решение . Подставим значение в выражение и выполним вычисления:
Ответ : .
В задаче 1 получилось деление на 0. Можно попробовать поделить 3 на 0, например, на калькуляторе. Убедитесь сами, что калькулятор не смог найти значение этого выражения. Не получится и у нас. Деление на 0 не имеет смысла, не определено.
Почему деление на ноль не определено?
0 был введен как часть большого механизма под названием целые числа для обозначения отсутствия чего-то. 0 облегчает счет и запись чисел, но нулевого количества нет, на него не укажешь пальцем, поэтому сказать, сколько 0 содержится в другом числе нельзя.
Разделить 3 на 0 означает сказать, сколько раз в 3 ничего нет. Ответить на вопрос, сколько в гараже квадратных метров можно, но ответить, сколько в нем пустоты, - нет.
Если бы был придуман какой-то смысл для выражения , то это противоречило бы некоторым известным свойствам и определениям, например свойствам умножения, поэтому деление на 0 не определяют.
Можно все же попробовать разделить 3 на 0. Деление - это действие, обратное умножению, т.е., если .
Но при умножении на 0 всегда получается 0, т.е. такого просто не существует.
Рассмотрим случай деления 0 на 0, чтобы не возникало ощущения, что он - особый и отличается от деления 3 на 0.
Равенство будет справедливым для любого , потому что Но результат деления должен быть конкретным числом. Снова получаем противоречие.
Поэтому деление на 0 в математике не определено.
Подставить в алгебраическое выражение можно любое число, но не всегда получится посчитать его значение.
Определение : такие значения переменной, при которых выражение не определено (нельзя вычислить его значение), называют недопустимыми значениями .
На данный момент мы знакомы только с одним таким случаем. Например, если в выражении есть дробь или деление , то мы не будем подставлять в выражение такие значения переменной, при которых знаменатель обращается в 0: .
Есть и другие случаи появления недопустимых значений переменных, но о них мы узнаем позже, по мере изучения различных функций.
Рассмотрим примеры на определение недопустимых значений переменных в выражениях.
Пример 1
Решение . Выражение представляет собой дробь, поэтому её знаменатель не может обращаться в 0: .
Таким образом, недопустимым значением переменной является 0, т.е. выражение определено для любых .
Ответ : 0.
Пример 2 . Определить недопустимые значения переменной в выражении .
Решение . Выражение представляет собой дробь, поэтому её знаменатель не может обращаться в 0: .
Таким образом, недопустимым значением переменной является 5, т.е. выражение определено для любых .
Ответ : 5.
Где еще можно встретить деление на ноль?
Докажем, что . Введем переменные , пусть .
Получим равенство:
Перегруппируем слагаемые и получим:
Вынесем общий множитель за скобки в каждой из частей равенства:
Разделим обе части равенства на и получим:
Получили, что . В чём подвох? Дело в том, что в наше «доказательство» вкралась ошибка: было выполнено деление на 0 при делении обеих частей равенства на выражение (по предположению эти числа равны: ).
Это пример математического софизма - утверждения с доказательством, в котором кроются ошибки. Софизмы бывают не только математическими, например, фраза «Ты не терял то, что у тебя есть. Ты не терял рога и хвост. Значит, у тебя есть рога и хвост» содержит логическую ошибку: из первой фразы не следует, что у тебя есть всё, что ты не терял.
Наиболее известными софизмами являются апории Зенона . Подробнее узнать о них вы можете по этой ссылке.
Мы уже сталкивались с эквивалентными выражениями, когда приводили дроби к общему знаменателю. Мы записывали цепочки эквивалентных дробей и выбирали из них те, у которых одинаковый знаменатель:
И
Например, в данном случае это будут дроби: .
Эквивалентные выражения можно заменять друг другом, от этого смысл и значение записи не изменится.
Например, пусть есть выражение . Можно выполнить умножение и получить выражение . Оба эти числовых выражения равны, эквивалентны.
Если же выполнить все действия в каком-то числовом выражении, то получится его значение: , т.е. - значение числового выражения . Выполнив все действия, мы упростили числовое выражение.
Алгебраические выражения могут быть записаны по-разному, но означать одно и то же, например: и .
Можно ли сказать, что выражение упрощено? Обычно под упрощением подразумевают эквивалентную запись в таком виде, чтобы для вычисления значения выражения нужно было выполнить как можно меньше действий.
Например, чтобы вычислить значение выражения при заданном значении переменной необходимо выполнить 3 действия, а для выражения - одно действие. Конечно, разница в 2 действия невелика, но, если бы такую операцию нужно было бы проделать 50 раз, тогда разница была бы уже в целых 100 действий.
Задача 2 . Докажите, что выражение эквивалентно выражению .
Доказательство
Дважды воспользуемся распределительным законом :
Задача 3 . Упростите выражение: .
Решение . Воспользуемся формулой разности квадратов :
Ответ : .
Сравним количество действий, которое необходимо сделать, чтобы вычислить первое выражение и второе. В первом случае нужно было выполнить 5 действий, а во втором - только 1. В таких случаях говорят, что мы упростили алгебраическое выражение .
Недопустимые значение переменных
Найдем недопустимые значения переменных для выражения: .
Знаменатель дроби содержит переменные, определим, когда он обратится в 0:
Т.е. недопустимыми значениями переменных будут противоположные значения. Например, если , то .
Эквивалетность выражений
Выражения и не являются эквивалентными для любых и , т.к. первое выражение не определено, когда , а второе выражение определено при любых значениях переменных и .
Т.е. эти выражения будут эквивалентными только для таких и , которые не являются противоположными числами.
Задача 4 . Упростите выражение: .